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死神背靠坐(27)

数学泛函编程(21)-泛函数据类型-Monoid

  • 十月 04, 2018
  • 数学
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#偏函数是起Python2.5引入的定义,通过functools模块于用户调用。注意这里的偏函数和数学意义上之偏函数不均等。

   
Monoid是数学范畴理论(category
theory)中的一个异范畴(category)。不过我并不曾打算花时间打规模理论的角度去介绍Monoid,而是想由一个程序员的角度去分析Monoid以及它以泛函编程里之图。从者思路出发我们蛮当然得出Monoid就是同等种植多少列,或者是平等种在泛函编程过程遭到常常会赶上的数据类型:当我们针对List或者loop进行一个数值的累积操作时我们就是会用及Monoid。实际上Monoid就是List[A]
=>
A的虚幻模型。好了,我们便不用越描越黑了咔嚓,还是看看Monoid的概念吧:

#偏函数是用装有承载的函数作为partial()函数的第一个参数,原函数的逐一参数依次作为partial()函数的累参数,除非采用要字参数。

Monoid由以下原则做:

#脚通过演示来证实,在这个事例中,将落实一个取余函数,取得整数100针对性两样数m的100%m底余数。编写代码如下:

1、一个虚幻类型A

 1 #! /usr/bin/python3
 2 #-*-conding:UTF-8 -*-
 3 #偏函数
 4 
 5 from functools import partial
 6 
 7 def mod(n,m):
 8     return n%m
 9 mod_by_100=partial(mod,100)
10 print('自定义函数,100对7取余结果为:',mod(100,7))
11 print('调用偏函数,100对7取余结果为:',mod_by_100(7))

2、一个亚老大结合性函数(binary
associative
function),对传播的少单A类参数进行操作后产生一个A类型结果

#尽结果为:

3、一个恒等值(identity)

1 ===================== RESTART: C:/Users/L/Desktop/偏函数.py =====================
2 自定义函数,100对7取余结果为: 2
3 调用偏函数,100对7取余结果为: 2

由于Monoid是一个数学类,它的次头版操作函数要依照一些定律:

#出于实践结果看,使用偏函数所欲代码量比从定义函数更少、更简洁。

1、结合性(associativity):op(a,op(b,c))
= op(op(a,b),c):这个定律是函数组合(function
composition)不可缺的原则

#当介绍函数的参数时,我们说到通过设定参数的默认值可以落函数调用的难度。从者的示范来拘禁,偏函数也足以形成及时或多或少。

2、二元函数参数中若发一个是恒等值时操作结果也其他一个参数:op(identity,v)
= v

咱得以据此编程语言来描述Monoid:

1   trait Monoid[A] {                //被封装的类型A
2       def op(a1: A, a2: A): A   //二元函数
3       val zero: A               //恒等值identity
4   }

俺们为此scala的特质(trait)描述了Monoid。它便是一个虚幻的数据类型。

既然如此Monoid
trait是个抽象类型,那么我们好尝试着创造几只基础项目的Monoid实例:

 1   val stringConcatMonoid = new Monoid[String] {
 2        def op(s1: String, s2: String) = s1 + s2
 3       val zero = ""   // op(zero,s2) = "" + s2 = s2 恒等值定律
 4   }                                               //> stringConcatMonoid  : ch10.ex1.Monoid[String] = ch10.ex1$$anonfun$main$1$$an
 5                                                   //| on$1@3581c5f3
 6   val intAdditionMonoid = new Monoid[Int] {
 7       def op(i1: Int, i2: Int) = i1 + i2
 8        val zero = 0
 9   }                                               //> intAdditionMonoid  : ch10.ex1.Monoid[Int] = ch10.ex1$$anonfun$main$1$$anon$4
10                                                   //| @340f438e
11   val intMultiplicationMonoid = new  Monoid[Int] {
12       def op(i1: Int, i2: Int) = i1 * i2
13       val zero = 1
14   }                                               //> intMultiplicationMonoid  : ch10.ex1.Monoid[Int] = ch10.ex1$$anonfun$main$1$$
15                                                   //| anon$5@30c7da1e

得视,这几乎单Monoid实例都入Monoid定律。那咱们好先试着用用。上面提到Monoid最契合一串值的长操作List[A]
=> A,我们得以对List[A]进展操作示范:

1  def reduce[A](as: List[A])(m: Monoid[A]): A = {
2     as match {
3         case Nil => m.zero
4         case h::t => m.op(h, reduce(t)(m))
5     }
6   }                                               //> reduce: [A](as: List[A])(m: ch10.ex1.Monoid[A])A

Monoid
m是独泛类型,m.zero及m.op()的现实意思要看Monoid的实例了:

1   reduce(List(1,2,3))(intAdditionMonoid)          //> res3: Int = 6
2   reduce(List("this is ","the string", " monoid"))(stringConcatMonoid)
3                                                   //> res4: String = this is the string monoid

对List[A]的具体累加处理是据intAdditionMonoid和stringConcatMonoid的老二首函数功能进行的。看来Monoid特别适用于List类型的大循环操作。可以管reduce函数的参数进行起来瞧:

1   reduce[A](as: List[A])(zero: A)(op: (A,A) => A) : A

这类别款式和折叠算法的类型款式很相似:

1   def foldRight[A,B](as: List[A])(z: B)(f: (A,B) => B): B
2   如果类型B=类型A
3   def foldRight[A](as: List[A])(z: A)(f: (A,A) => A): A

事实上我们得以一直用者的Monoid实例运算折叠算法:

1   List(1,2,3).foldRight(intAdditionMonoid.zero)(intAdditionMonoid.op)
2                                                   //> res3: Int = 6
3   List("this is ","the string", " monoid").foldLeft(stringConcatMonoid.zero)(stringConcatMonoid.op)
4                                                   //> res4: String = this is the string monoid

反正叠算法都好。Monoid的结合性定律(associativity
law)可以使List元素运算左右路等。

下我们再度试试着长几只Monoid实例:

 1   def optionMonoid[A] = new Monoid[Option[A]] {
 2       def op(o1: Option[A], o2: Option[A]): Option[A] = o1 orElse o2
 3       val zero = None  // op(zero, o1)= None orElse o2 = o2
 4   }                                               //> optionMonoid: [A]=> ch10.ex1.Monoid[Option[A]]{val zero: None.type}
 5   def listConcatMonoid[A] = new Monoid[List[A]] {
 6       def op(l1: List[A], l2: List[A]) = l1 ++ l2
 7       val zero = Nil
 8   }                                               //> listConcatMonoid: [A]=> ch10.ex1.Monoid[List[A]]{val zero: scala.collection.
 9                                                   //| immutable.Nil.type}
10     val booleanOrMonoid = new Monoid[Boolean] {
11         def op(b1: Boolean, b2: Boolean) = b1 || b2
12         val zero = false
13     }                                         //> booleanOrMonoid  : ch10.ex1.Monoid[Boolean] = ch10.ex1$$anonfun$main$1$$anon
14                                                   //| $6@5b464ce8
15     val booleanAndMonoid = new Monoid[Boolean] {
16         def op(b1: Boolean, b2: Boolean) = b1 && b2
17         val zero = true
18     }                                         //> booleanAndMonoid  : ch10.ex1.Monoid[Boolean] = ch10.ex1$$anonfun$main$1$$an
19                                                   //| on$7@57829d67
20     def endoComposeMonoid[A] = new Monoid[A => A] {
21         def op(f: A => A, g: A => A) = f compose g
22         val zero = (a: A) => a    // op(zero, g: A => A) = zero compose g = g
23     }                                         //> endoComposeMonoid: [A]=> ch10.ex1.Monoid[A => A]
24     def endoAndThenMonoid[A] = new Monoid[A => A] {
25         def op(f: A => A, g: A => A) = f andThen g
26         val zero = (a: A) => a   // op(zero, g: A => A) = zero andThen g = g
27     }                                         //> endoAndThenMonoid: [A]=> ch10.ex1.Monoid[A => A]
28     //计算m的镜像Monoid 
29     def dual[A](m: Monoid[A]) = new Monoid[A] {  
30         def op(x: A, y: A) = m.op(y,x)    //镜像op即时二元参数位置互换
31         val zero = m.zero
32     }                                         //> dual: [A](m: ch10.ex1.Monoid[A])ch10.ex1.Monoid[A]
33     def firstOfDualOptionMonoid[A] = optionMonoid[A]
34                                                   //> firstOfDualOptionMonoid: [A]=> ch10.ex1.Monoid[Option[A]]{val zero: None.ty
35                                                   //| pe}
36     def secondOfDualOptionMonoid[A] = dual(firstOfDualOptionMonoid[A])
37                                                   //> secondOfDualOptionMonoid: [A]=> ch10.ex1.Monoid[Option[A]]

以上几乎个增加的Monoid实例中endoComposeMonoid和endoAndThenMonoid可能比较陌生。它们是指向函数组合的Monoid。

或者回到对List[A]的长操作。下面是函数用Monoid对List[A]元素A进行添加操作:

1   def concatenate[A](l: List[A], m: Monoid[A]): A = {
2       l.foldRight(m.zero){(a,b) => m.op(a,b)}
3   }                                               //> concatenate: [A](l: List[A], m: ch10.ex1.Monoid[A])A
4   concatenate[Int](List(1,2,3),intAdditionMonoid) //> res0: Int = 6

那一旦没有List[A]素A类型Monoid实例怎么惩罚?我们好加以一个函数:

1 def foldMap[A,B](as: List[A])(m: Monoid[B])(f: A => B): B

使我们发出一个函数可以管A类转成B类
A => B,那咱们不怕得运用Monoid[B]了:

1   def foldMap[A,B](as: List[A])(m: Monoid[B])(f: A => B): B = {
2     as.foldRight(m.zero)((a,b) => m.op(f(a),b))
3   }

证一下:foldRight的档次款式:foldRight[A,B](as:
List[A])(z: B)(g: (A,B) => B): B。其中(A,B) => B >>>
(f(A),B) => B >>> (B,B) => B 就足以应用
Monoid[B].op(B,B)=B了。我们也堪用foldLeft来促成foldMap。实际上我们同样可据此foldMap来实现foldRight和foldLeft: 

1 def foldRight[A,B](la: List[A])(z: B)(f: (A,B) => B): B
2 def foldLeft[A,B](la: List[A])(z: B)(f: (A,B) => B): B
3 def foldMap[A,B](as: List[A])(m: Monoid[B])(f: A => B): B

foldRight和foldLeft的f函数是(A,B)
=> B,如果用curry表达:A => (B => B),如果会拿 A => ? 转成为 B
=> B,那么我们就算好应用endoComposeMonoid[B].op(f: B => B, g: B
=> B): B。

1   def foldRight[A,B](as: List[A])(z: B)(f: (A,B) => B): B = {
2       foldMap(as)(endoComposeMonoid[B])(a => b => f(a,b))(z)
3   }

说明:foldMap需要f: A
=> B, foldRight有 (A,B) => B >>> A => B => B
>>> f(a)(b) => b >>> f(a,b)(z) >>>
f(b)(b)

foldLeft是从左开始折叠,只待动用endoComposeMonoid的镜像Monoid把op参数位置调换就行了:

1   def foldLeft[A,B](as: List[A])(z: B)(f: (A,B) => B): B = {
2     foldMap(as)(dual(endoComposeMonoid[B]))(a => b => f(a,b))(z)
3   }

在这节我们简要的牵线了Monoid及她的一些低级类型的实例使用方式。我们为拿Monoid代数模型的一头:函数的互通转换与组成稍微示范了一晃。在生一致节咱们拿会拿Monoid在实质上编程中之行使和Monoid的深浅抽象做来讨论。

 

 

 

 

 

 

 

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