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多变量微积分笔记1——直线与曲线的参数方程

  • 十月 07, 2018
  • 数学
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球面面积

  可以以球看作为半径为a之半圆y2 +
x2 =
a2绕x轴旋转一到家形成的图形,计算x在[x1,
x2]地处形成圆盘的球面面积:

 图片 1 

图片 2

  整个球体的表面积:

 图片 3

  结果以及球表面积公式一样。

摆线的斜率

  于轮子滚动一缠后,点P回到x轴,开始进入下一个周期,两个周期相交于一些。有一个值得关注之问题是,如果在该点处作轨迹曲线的切线,切线的斜率是啊?如下图所显示,就是计算P5地处轨迹曲线之切线:

图片 4

  为了简化问题,将当轮子看作单位全面,此时a =
1,

 图片 5

  在P5处,θ=2π,斜率:

 图片 6

  这未曾意思,但得测算极限:

 图片 7

  因此,在P5处在,斜率趋近于∞,也即是起一样久垂直于x轴的切线。

  也可以用泰勒展开式计算斜率(泰勒级数而参考《数学笔记31——幂级数和泰勒级数》):

图片 8

求解方法

  曲线y =
x2纠缠x轴旋转一宏观,求在x在[0,
a]达,立体图形的外表面积。

 图片 9

  图形类似于喇叭口,可以利用圆盘法求解,只是将dx换成ds,上图被圆盘的表面积:

 图片 10

  总面积:

 图片 11

  这个纷繁的积分还是交给计算机吧。

示例

示例2

  如下图所出示,求圆心为R,半径为r的圆绕y轴转动一完美形成的环绕之表面积

图片 12

  由于是绕y轴转动,表面积的微分是da =
2πxds,接下就是怎么求解ds和da的积分。

图片 13

  上半圆的表面积:

 图片 14

  又是求解积分的题目了,令u = x –
R

 图片 15

  令u = rsint,du =
rcostdt;u的取值范围是[r, -r],所以t的取值范围是[π/2, -π/2]

 图片 16

 


  作者:我是8位的

  出处:http://www.cnblogs.com/bigmonkey

  本文为学、研究暨享受为主,如用转载,请联系自身,标明作者及出处,非商业用途! 

曲线

  对于平面或空中内之随机运动,同样可为此参数方程表示。

弧长的概念

  曲线上有数触及之间的曲线长度称为弧长,现在我们准备用积分定义弧长。

图片 17

  将达图的曲线分为n段,用直线连接相邻之有限碰,当Δx→0时,两碰中的线条长度趋近于弧长:

图片 18

  将s定义为弧长,则:

 图片 19

  用微分表示上式,可以去掉约等号:

图片 20

  习惯及,上式去掉括号:

图片 21

  其它少种常见的变形:

 图片 22

  由此得到a、b两接触中弧长的表达式:

 图片 23

直线的参数方程

  一个沾在空间受到匀速直线运动,它当t =
0和t = 1随时经过Q0 = (-1, 2, 2)和Q1 = (1, 3,
-1)两触及,Q(t)是该点关于时间t的函数:

 图片 24

  如达到图所示,点在t =
0时刻的职Q0 = Q(0) = (-1, 2, 2),t =
1整日的职务Q1 = Q(1) = (1, 3,
-1),那么以任意t时刻,Q的职Q(t)是哪?

图片 25

  现在拿题目易为向量:

图片 26 

  由于是匀速运动,所以运动距离和工夫变成正比:

图片 27

  随着年华的增进,向量也将增长。由于Q(t)是空中内的点,所以:

图片 28

  这虽是欠直线的参数方程,其来是Q0Q(t)
= tQ0Q1

  如果t = 2,则在拖欠时刻Q(2) = (3, 5,
-4)

  积分的定义来实际应用。对一个函数积分可以知道呢要曲线下之面积,但积分的作用不仅仅如此。作为牛顿一生最宏伟之申,有矣积分,我们便可去计算曲线的弧长,可以错过请区域之面积,也足以去计算很多物理问题。

示例1

  两修直线L1和L2是不是相交,如果相交,其交点是呀?

图片 29

  可以用过去的知将参数方程转换为平常方程:

 图片 30

  方程组有唯一破,x = 1, y =
2,两漫长直线相交于(1, 2)

  也可以一直用参数方程求解。如果简单久直线相交,参数方程组有唯一排:

 图片 31

  将解代入参数方程:

图片 32

  两长条直线相交于(1, 2)

示例1

  计算y = x3/2在0 ≤ x
≤ 4地处的弧长。

 图片 33

y = x3/2

 图片 34

空间被之直线

  空间受到简单个面的混是相同条直线,如果摒弃开平面,直线可当是接触匀速直线运动的轨道。

  通过个别碰确定一长直线,此外,已了解一点和及直线平行的向量也能确定一久直线。

抛物线的弧 

  求曲线y = x2在x∈[0,
a]高达之弧长。

图片 35 

  接下去是求解积分问题,令x =
tanθ/2 

图片 36

  令u = secθ, v’ = sec2θ, v
= tanθ,  u’ = secθtanθ

图片 37

图片 38

图片 39

图片 40

  最终弧长:

图片 41

直线与平面的涉嫌

  上面的点滴单点Q0 = (-1, 2,
2)和Q1 = (1, 3, -1)对于平面x + 2y + 4z =
7来说,位置关系是什么?在面的两侧还是一侧?是否以面及?

  将Q0和Q1替入平面方程:

图片 42

  由此可见Q0和Q1非以面及,它们分属于面两侧,向量Q0Q1用通过平面,与平面有唯一的交点,这个交点又是呀?

  上节一度求得了直线的参数方程Q(t) =
(2t-1, t+2, -3t+2),直线与平面的交点将满足:

图片 43

  将直线参数方程代入平面方程也可能出现有成百上千革除或无解的状态,此时直线与平面没有唯一交点,直线或当面及要跟平面平行。

  总结一下,把直线方程Q(t) = (x(t),
y(t), z(t))代入平面方程ax + by + c =
d,如果会计算出t的唯一值,直线穿过平面;如果获得一个等于d的常数,则直线在面及;如果博一个勿等于d的常数,则直线与平面平行。

曲面面积

摆线的参数方程

  摆线是一模一样种植有名的曲线,它讲述了当车子匀速直线运动时,车轮上点的移动轨迹。如下图所示,P是半径为a的轮边缘上之某些,刚起经常在原点,当轮子为右侧滚动后,P点将随之转动:

图片 44

  我们关心之题目是轮滚动后P的轨道,也不怕是t时刻P点的岗位。如果P点是岗位关于时间之函数,用参数方程可以象征也Q(t)
= (x(t),
y(t))。这代表从岁月的角度来代表位置,然而时光毫无最好之参变量,因为P的轨道是跟日无关之,即使车速变快,P的倒轨迹也未会见变动。我们注意到,当轮子匀速运动时,P的角度和时间成为正比: 

图片 45

  ∠θ和活动时变成正比,如果θ超过2π,则一定给始了一个新的周期,对于角度的演算,3π跟π是一样的。由此,可以将时间替换为角度,也便是下车轮转动角度做参变量将沾重新简便易行的答案:

图片 46

图片 47

  将车轮转换为达成图所出示之向量(向量可参考《线性代数笔记2——向量(向量简介)》),则向量OP的参数方程就可以代表P点的移动轨迹。

 图片 48

  由于车轮是本着地面转,且最初P的位置与O相同,所以在首先环时,OA
= PA的弧长(我肯定于美术时比随意,看起它并无对等):

 图片 49

  实际上,无论第几缠绕,上式都建。由于已经掌握了OA和AB的长,可以汲取相应的向量:

 图片 50

  现在才待要求来向量BP即可。这里并不需要知道点B和点P的坐标,由于向量只描述了大小以及倾向,所以向量和具体位置无关,因此可以经过将向量BP倒求得BP

 图片 51

图片 52

  最终:

图片 53

图片 54

归结示范

示例2

  直线L经过P(0, -1, 1)和Q(2, 3,
3)两沾,直线与平面2x + y – z = 1的关系?

  设直线方程是L(x(t), y(t),
z(t)),则:

图片 55

  将L的参数方程代入平面方程:

 图片 56

  t有唯一排,指向与平面相交。将t代入直线的参数方程,交点是(1,
1, 2)

 


  作者:我是8位的

  出处:http://www.cnblogs.com/bigmonkey

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单位全面之弧长

  计算下图单位到上的弧长s:

图片 57

  单位圆中:

图片 58

  根据弧长公式:

图片 59

  接下就是求解积分的问题。

 图片 60

  也得描绘成:a = sins

  于单位圆中,弧长s = 弧长夹角θ,a =
rsinθ = sinθ,上面的计算结果以及概念相同。

 图片 61 

直线

弧长

嘿是参数方程

  一般地,在面直角坐标系中,如果曲线上自由一点底坐标x、y都是某变数t的函数:

 图片 62

  并且于t的各国一个兴的取值,由方程组确定的点(x,
y)都以当时漫漫曲线上,那么这个方程就叫曲线之参数方程,联系变数x、y的变数t叫做参变数,简称参数。相对而言,直接为出点坐标中关系的方程叫普通方程。

  例如当运动学,参数通常是“时间”,而方程的结果是快、位置等。用参数方程描述运动规律时,常常比较用一般方程更为直接便捷。对于缓解要最好深射程、最深惊人、飞行时刻或者轨道等一样名目繁多问题且比较优秀。有些要而正如复杂的曲线(例如摆线),建立它们的家常方程比较艰难,甚至不容许,有矣参数方程,就得非常易表达。

线性函数的弧长

  如果起曲线y = mx,则y’ = m,
图片 63 ,曲线在0 ≤ x ≤
10处在的弧长:

 图片 64

图片 65

  如齐图所示,可以摒弃积分直接计算两接触里的弧长,其结果以及积分运算相等。对于这事例来说,结果是明显的,但是该发挥的意义是:如果我们能够针对线性函数推导出这些公式,那么微积分也会告诉我们理应怎么开。微积分的思考就是存吃这简单的,甚至无需微积分计算的经过遭到。所有这些工具,微分、积分、极限,可以回复任何曲线,因为我们以曲线分割成了无限小,这就是起积分的合计。

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