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《数据库系统概念》10-ER模型

数学食·色

舆论笔记:Image Smoothing via L0 Gradient Minimization

  • 十月 19, 2018
  • 数学
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文/涅阳三水

今天一经分享的这篇论文是自身个人太喜爱的论文之一,它的思想简单、巧妙,而且意义还一对一对。这篇论文借助数学及之
\(L_0\)
范数工具对图像进行平整,同时保留重要的边缘特征,可以兑现类似水彩画的功效(见下图)。

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此外就篇论文的作者徐立为是一个一定高产的研究员。

前情提要:

数学 1

率先只星期天至了,给男女辈布置了作业,曾三丫头还求了独特的学业。他们可成功吗?

舆论的目的

所谓图像平滑,就是崛起图像中的低频成分,抑制高频成分,减多少突变的梯度。大部分情况下,这么做的目的是为着去图像遭到的噪音,因为噪音一般就是一些孤立的如素点,是诸如从变化较异常之区域。在风的图像处理中,大部分操作都是用一些兼有平滑性质的卷积核对图像进行模糊处理,最常用之假设:高斯模糊、均值滤波等等。这些艺术还生一个短,就是于模糊噪声的同时,也搅乱了边缘。当然之后为出一部分更上一层楼之艺术,如:彼此滤波对等,这些方式都以边缘保持上开展了多改进,但略还是会见损失边缘的信。本文的主意了两样于往底这些算法,它从图像梯度的角度出发,在坦掉大部分薄的噪音的以,又会无限酷限度的保重要之边缘信息。

前同回:周末作业

舆论主要想

暮秋(3)第一差晨诵


1

星期一夜,曾三丫头来探寻我,让自家看其计划的班徽:椭圆形,里面左右分列在三三两两切开羽毛,下面是厚书册。

自家望三女儿:“讲出口吧!你如此设计之依据是什么啊?”

“椭圆是咱们这公共,羽毛是我们的翅,下面的图书则是咱得的阳台。”曾三姑娘的说好有道理。

“椭圆加成双层的,把咱的口号衔以混合层中。”我这么令她说。

其带来在笑容,从自我这里距,我而说一样句:“你的宏图非常有创意!辛苦咯!”

本身看齐它们底肉身一顿,没有悔过,也尚未云,又奇怪为着距离了。

2

错过教室走了大体上,我虽听到学校喇叭上通报,要每班班委去总务处领教材。于是,加紧几步迈进了教室,喊了薛猛同几号称个子特别之男生与本人一样片去总务处了。

以班级比较多,要遵照顺序来,等了巡晚,轮到我们班了。发书的领导人员同一一样查过来,几独幼童又平等同等地频相同全套,这才几只人分流抱在上教室了。

含笑看在大家,我说:“我们的初课本终于赢得了,希望大家如果爱我们的即刻套教材,不要以其的脸蛋涂画,不要吃它们脱破烂烂,也休想当它的人里随机开才好。能一气呵成吗?”

“能!”回答的声息非常是响。

“听声息,大家底气十足,以后的小日子里,我们再次月抽查一不善,如果发现来破坏之,要减半一百首届的天使币哦!”在儿女等欢呼声中,我这样泼了平等盆子冷水,因为自清楚出多子女产生毁损涂画书的坏习惯。

3

准班级名单,一模仿新的书本依次到了学员手中。

说是一法,其实只是三四如约:语文、数学、英语、品德和社会。其他的科目几乎形同虚设,分给语文数学老师之后,全弃之不理了,课堂时间全是语文数学作业被占了。

儿女等都于特殊地翻在课本,这本翻两页,那按照翻两页,跟无头苍蝇似地乱译一暴,不懂得凡是哪本还好看,还是呀本都不难堪。

“我们且很快地拿开以扫一全副,看看发生没有产生没有洗上配之空白页?”想起以前来孩子取的教科书出空白页,我连忙咨询是,趁着一个配为远非写及,察看一番。

孩子辈还当扑楞楞鸟儿展翅一样当翻书。

过一会儿,每一个还摆着头说:“没有空白页。”

4

对接下,我在黑板上抄写下一致首诗:

新新的四月

文/金子美铃

初新的课本,放在新新的书包里。

初新的叶子,长于新新的树枝上。

新新的阳光,照在新新的空。

乍新的四月,快乐的季月份!

孩子辈读着,笑着,脸上洋溢在喜欢。

即是日本童谣作家金子美铃的同一篇儿童诗,读起来美美的。

自身还尚无说被男女等于哪抄写,就同时开始书写下同样篇。

初新的九月

文/颜衍

乍新的教材,放在新新的书包里。

初新的办公桌,待在初新的教室里。

初新的教室,就在新新的母校里。

新新的九月,快乐的九月!

身边坐在新新的同室。

5

“周末之早晚要求大家新市的硬皮本子买了么?”写了了,我问孩子辈。

“买了,我们还开抄写了哟!”孩子等并回自己。

“颜先生,我吧勾勒了扳平首诗。”有儿女站起了,如此说一样句。

“是也?读读,让大家听听?”我看有儿女这样做,实在挺开心。

乍新的九月

文/柳叶青

坐在新新的书包

举手投足以初新的旅途

初新的校,在初新的战线召唤

新新的九月,我认了初新的校友

有了初新的读本

其同样读了,我们大家都打起掌来了,真是可爱的孩子什么!

6

接通下去,我于男女等介绍了日本童谣作家金子美铃,这员早逝的有用之才,用它们二十六东之青春年华,给世人留下了平笔画丰厚的财物。

金美铃生于1903年,她作里常唱歌故乡——山口县大津郡仙崎村——这个美妙小镇的景和生存。她为西条八十赞赏为童谣
“巨星”,作品充满着灿烂之空想。这号天才的诗人在1930年离异,女儿归其,但半单月以后,前夫又来要女儿,孤立无援的得意铃以死抗争,服安眠药自杀。

金子美铃只生了二十六年,死后创作为深受人忘记,像是流星一闪而过,直到1984年,三卷本之《金子美铃全集》才问世。

1903年出生,1930年死去,1984年编写出版。日本童谣诗人金子美铃可以说凡是世界上极其“慢热”的作家有了。但其留下的500大抵首美要天籁之童谣,2007年以炎黄组成《向着明亮那方》出版。它特有之地方在,一过多素不相识的粉丝们,以动传递感动,用了三年时光,最终促使她在中华顺利“诞生”。

7

“我们领略了黄金美铃这员才情四涌之童谣作家后,你有什么想说的?孩子等?”面对孩子等惊讶的眸子,我委来一个问题。

“27年,这么年轻就是无了,太可惜了!”

“她要生活到今天,是匪是怪巨大了?”

男女辈叽哩哇啦说了会儿,有儿女站起来问:“我们是不是之后要是读书就员诗人的创作?”

“是的,我们全九月都见面念金子美铃的诗文。”我自然了即孩子的打听,接着往生展开,“我们并来读读这首小诗吧!”

孩子辈天真而整齐的声开始响起来了,我起各级一个胎的脸庞看过去,那份专注以及认真令自己充分生同种敬意来,他们之心灵中一片空白,需要因此美好的物去丰富,去填。

协读过去,分左右诵读,男女生读,前后读,一全一律全读过去,基本上还好背下来了。

8

全校喇叭上喝在各班老师带学员去总务处领作业,我就算以带来在几乎各男生去总务处了。

举手投足在途中,薛猛问我:“老师,问您平件事,可以吗?”

本身单走一边跟他应:“可以呀,你想咨询什么为?”

“当教师美啊?”这个薛猛的题目格外直接。

“你发美也罢?”我笑着反问他。

“我娘说当教师产生星期天,有假,还有好,很抖!”薛猛如此回答。

“那依你的考察呢?”我眷恋问问出子女自己的语。

“我认为不抖,每天要转移作业,要教,还要让几十单小朋友的折磨。”想同一怀念,我道就薛猛说出来的说辞很有道理。

9

儿女等将作业本抱回教室了,在讲台上放好,就回去自己座位上了。

拿数学作业,英语作业仍花名册发到孩子辈手中了,但做我被留下来了。因为还无从头写作文,发下来后孩子辈不怕为装于书包里,弄得皱巴巴的。

“咱们的功课自己毫不自作主张写名字,等着导师布置作业的当儿统一要求了更写,这样好涵养统一之格式。咱们的作文本没犯,是以今天还未写著,到写的时段再发,防止大家把作业本弄烂了。”我这么令一句准备下课了。

可是,陈翔站起来了:“老师,周末作业都检查结束了,要求的几乎单作业本,大家还打一块了。只是让小组于名字的业务,大家还未曾行进。”

“没有履没有关联,现在启幕行走。小组内每个成员还把好之名字写在纸上,每个人犹失去把当下名字做新的老三个字或者四单字的词语就是可。”第一周到之课业,从来不曾奢望过他们见面成功,我这样说了同一接,有了措施之后,他们的动作应很快。

10

小组的名字很快就下了,真的是五彩缤纷呢!

“翔飞天宇”是陈翔等小组的名,够大气,够豪情;

“羽化成蝶”是闫羽悦组的名字,低调,简约,但非略;

“三阳开泰”是都三姑娘小组的名字,也够有冲劲儿的;

“霞菲不迁”是崔雨霞小组的讳,宋迁应该当这小组被,看来稳固性蛮高之。

“勇猛无敌”这名字看起就是薛猛小组的了,期待他们稳居第一啊!

“聪明有加”应该是彭聪小组的名字了,希望真的是智慧有加呀!

“老师,我们组还从未名字!”就以开玩笑的时,有子女举手了。

11

本来,这同样组成员的名还比好玩,组长名字三字近音——韦伟卫,组员的名字起:卞玉英,卫依菲,司静岩,柴青鹏,姜坤炎,段发生钱,乌力吉。

组长张在自己前面,我逐一看了一样全,开口说:“双卫请钱可是好?咱几单比方奋力挣钱,成为我们立马几只小组中极有钱的可是好?”

“双卫请钱。”几单儿女同时默念一满这几乎独字,脸上浮现出笑意,悄悄地圈于组长韦伟卫同卫依菲了。

“几独小组的讳早就确定下了,组长把名字写下去,粘贴在教室里就是足以了。”我摆了最后的职责,又同样软想去。

“老师,每日抄写时间定位为?不固定的话,我们不怕好说了算了。”班长曾三妮以发话问一样词。

自己望她,淡淡地说:“自己说了算吧!只要坚持就好!”

一维图像信号

每当业内提思想之前,我们先想起一下图像平滑的对象是啊。

数学 2

为简单起见,我们事先打一维出发,把图像当作一维的信号。那么,图像平滑就是若拿那些比粗的切近「褶皱」的地方抹平,而将那些老的「褶皱」,或者另行纯粹地说,变化很大的梯度(边缘)保留下来。上面就幅图显示的是差算法的坦荡效果。可以发现,之前的算法在坦掉那些坑坑洼洼的「褶皱」的而,也将可能把属于真正边缘的要命的梯度给模糊了(细节放大图如下)

数学 3

为避免这种题材,论文提出同样种基于 \(L_0\) 范数的能量最小化方法。

所谓 \(L_0\) 范数,指的便是向量中非
0 元素之个数。论文中借用这个定义,提出一个图像梯度数量的计算公式:
\[ c(f)=\#\{p\ \big |\
|f_p-f_{p+1}|\neq 0 \} \]
公式中,\(f\)
表示我们平滑后的图像,\(\#\)
表示集合中元素 \(p\) 的个数,而 \(p\) 则意味着如从位置,因此 \(f_p\) 其实就意味着图像 \(f\) 在 \(p\) 这个职位的例如素值。

故这公式其实就是当算:满足 \(|f_p-f_{p+1}| \neq 0\)
的像素数量,这个不等式正好就是是 \(L_0\)
范数。它的现实意义就是算图片信号中梯度的数额

发生矣这个公式后,论文抛来其无限基本之对象函数:
\[ \underset{f} {\operatorname {min}}
\sum_{p}(f_p-g_p)^2 \ \ \ \ \operatorname{s.t.} \ c(f)=k
\]
公式中之 \(g\) 表示原本图像,\(f\) 表示平滑后底图像,\(c(f)\)
就是面提到的乘除梯度数量之公式,它象征 \(f\) 中的梯度数量应为 \(k\) 个。

这公式表示的凡图像 \(f\) 中每个像素
\(f_p\) 和原图 \(g\) 中每个像素 \(g_p\) 之间的平方差之和。

顶小化这个目标函数,其实就是只要最好小化 \(f\) 和 \(g\) 之间的比如说素差。如果无 \(c(f)\) 这个范围,那么最终之优化结果虽是
\(f=g\)。但加上 \(c(f)\)
限制后,这个目标函数在尽可能减少两只信号中的能差的还要,又使让 \(f\) 中之梯度数量满足 \(k\) 个。换句话说,它如果尽量让 \(f\) 和 \(g\) 相似,同时以去平 \(f\)
中的梯度。因此,最后之优化结果只能是保存住 \(f\)
中那些梯度比较老之边缘,而平整掉那些梯度比较粗的「褶皱」。

\(c(f)\) 这个范围最老的意就是防备
\(f\)
出现对边缘的混淆。如果条分缕析察看地方那张边缘模糊的细节图,你便见面发现,造成模糊的原因是我们拿原先大「抖」的梯度转移「缓」了,而苏之梯度其实是出于许多小梯度组成的。\(c(f)\)
的限定正是为了减小这种梯度的数额。因此,为了满足 \(c(f)\),目标函数会于 \(f\) 中的梯度倾向于重新「抖」。

绝小化能量差削减梯度数量眼看点儿独约束之一起博弈下,最终赢得了下的这种特别平整、同时边缘很中肯的结果:

数学 4

这种彼此制约的想法实在是简单而还要精!

而是,实际利用中在一个题目,就是 \(k\)
的转范围大十分,是特别麻烦选择的。为了控制 \(k\) 的选取范围,论文把 \(c(f)=k\) 这个约束为加入到目标函数中:
\[ \underset{f}{\operatorname{min}} \{
\sum_p{(f_p-g_p)^2+\lambda c(f)} \} \]
现在 \(\lambda\) 代替 \(k\) 作为可以调节的参数。\(\lambda\) 越老,目标函数对 \(c(f)\)
的平抑就更是充分,梯度数量就是越少(即边缘越少),反之,梯度数量更是怪。

二维图像信号

相同维信号的约好十分容易引申到二维信号:
\[ C(S)=\#\{p\ \big | \ |\partial_x
S_p|+|\partial_y S_p| \neq 0 \} \]
\(S\) 类似上面提到的 \(f\),在这边她意味着处理后底第二维图像,\(\partial_x S_p\) 和 \(\partial_y S_p\) 分别代表在 \(x\) 方向和 \(y\) 方向计算 \(L_0\) 范数。

接下来,我们得就此同一的法赢得目标函数:
\[ \underset{S}{\operatorname{min}} \{
\sum_p{(S_p-I_p)^2+\lambda C(S)} \} \]
公式中 \(I\)
表示原图,其他的近乎比较同维信号的公式。

优化措施

巴有生之年看明白上上。。。

试行结果

数学 5

落得图(e)是舆论的法子以及外图像平滑方法的自查自纠,可以望,这种根据 \(L_0\)
平滑的法门不仅平滑的机能好,而且几乎是本来封不动地保留了色块之间的边缘信息。而别方在色块(尤其是新民主主义革命)上之平滑力度不若
\(L_0\) 平滑,且边缘也搅乱了好多。

除此以外,论文的平方法在边缘提取及力量呢一定之好,下图中,左边(e)是直指向原图用
Canny 提取边缘的结果,右边是预先用 \(L_0\) smoothing
进行平整,再取边缘之结果,可以望,平滑后领到的边缘饱尝删去去矣不少免重大的细节,而要的边缘信息都吃领出。

数学 6

除去,另一个可怜重点的用途是图像失量化。图像失量化要求图像遭到之色块数量尽可能少,而立即一点正中
\(L_0\) smoothing
下怀。下图被之输入图像具有众多噪声细节,而这些细致节用一般的坦荡方向是甚为难杜绝的,但
\(L_0\) smoothing
由于限了梯度数量,因此可以有大「光滑」的色块区域,非常好失量化操作。

数学 7

参考

  • Image Smoothing via L0 Gradient
    Minimization
  • L0范数图像平滑
  • 机械上着的范数规则化之(一)L0、L1与L2范数

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