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《别做健康的傻瓜》

数学笔记19——数值积分

  • 十二月 28, 2018
  • 数学
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数值积分的采用

没辙线性展开的高次分式

  将分母的多项式因式分解后,假若每个因式的最高次项都是1次,则称该多项式可以线性展开,如
x3 – 3x + 2 = (x – 1)2(x +
2),对于不可以线性展开的多项分式如何求解呢?

 图片 1

  首先是如故是因式分解:

 图片 2

  然后要将有些分式展开,与事先不同,分子要投入四次项:

 图片 3

  用选定周详法求出A:

 图片 4

  接下去要想方设法求解B和C,先将分母全体消去:

图片 5

  此时大家着眼等式最高次项的次数,右边展开后会得到Ax2

  • Bx2,等式左右两边的高次项周到应当相等:

 图片 6

  由于省略号表示的表明式中校不会出现x2,故B
= 1/2,代入可求得C = 1/2

  最后求解积分:

 图片 7

  现在面对的就是积分问题了,所以并不是说有些分式展开就顺风。第一片段很容易求解,答案是(ln|x

  • 1|)/2,第二有的可用估量法求得原函数(ln(x2 +
    1))/4,第三部分需要依靠三角替换,令x = tanθ

图片 8

  最终:

 图片 9

矩形公式

  就是常见的黎曼和,在切割小矩形时,可挑选使用左矩形或右矩形。

  左矩形公式:

图片 10

  右矩形公式:

图片 11

  左右矩形公式的界别如下图所示:

图片 12

左矩形公式

图片 13

右矩形公式

拍卖假分式

  假若P(x)的次数超过Q(x)的次数,多项式就是一个假分式,这类问题如若将其变为真分式就足以处理。

 图片 14

  与一些分式相反,第一步是精打细算多项式:

 图片 15

  用除法将其成为真分式,这些过程实际上是将小学学过的除法竖式应用于多项式:

图片 16

  商是x – 1,余数是3x – 2,所以:

 图片 17

  又见到了有的分式:

 图片 18

示例1

  总结y = 1/x在x = 1和 x =
2之间与x轴围成的面积:

图片 19

  下边是见仁见智总计模式的争持统一。

  实际面积:

图片 20

  梯形公式:

 图片 21

  辛普森(辛普森(Simpson))公式:

图片 22

  那么些事例中,辛普森(辛普森)公式远比梯形公式精确,实际上,|真实值
– 辛普森(Simpson)值| ≈ (Δx)4,假如Δx =
0.1,辛普森(Simpson)值将特别相近真实值。

示例3

图片 23

 图片 24

图片 25

tanθ=2x

图片 26

如何是数值积分

  数值积分是统计定积分数值的法子和辩解。在数学分析中,给定函数的定积分的测算不连续实惠的。许多定积分不可以用已知的积分公式得到精确值。数值积分是应用黎曼积分等数学概念,用数值逼近的法门近似统计给定的定积分值。借助于电子统计设备,数值积分可以便捷而卓有功效地测算复杂的积分。

  数值积分的必要性源自统计函数的原函数的困难性。利用原函数统计定积分的办法成立在牛顿(牛顿(Newton))-莱布尼兹公式之上。不过,原函数可以用初等函数表示的函数为数不多,大部分的可积函数的积分不能用初等函数表示,甚至不知所可有分析表明式。例如常见的正态分布函数:

图片 27

的原函数就不能用初等函数表示。

  不仅如此,在成千上万实际拔取中,只好知道积分函数在一些特定点的取值,比如天气测量中的气温、湿度、气压等,经济学测量中的血压、浓度等等。其余,积分函数有可能是某个微分方程的解。由于广大微分方程只好数值求解,因而不得不知道函数在某些点上的取值。这时是心有余而力不足用求原函数的方法总括函数的积分的。

  此外,当积分区域是曲面、三维形体以至于高维流形时,Newton-莱布尼兹公式不再适用,只可以利用更宽广的格林公式或Stowe克斯公式,以转账为较低维数上的积分,但不得不用来少数情景。因而,只可以采纳数值积分总结函数的近似值。

进展部分分式

图片 28

  这里无法间接举办成:图片 29,这是不可能求解的。对于分母是高次项的有些分式,其开展的模样应该型如:

 图片 30

  所以:

图片 31

  这种方法无法求解A,因为没法消除B项。不过可以动用古老的代数法求解,随便找一个数字,代入即可,这里令x
= 0,等式变为:

图片 32

  最终:

图片 33

梯形公式 

  与矩形公式不同,梯形公式直接将点总是,当Δx→∞时,这看起来更仿佛于与真正面积:

图片 34

图片 35

  求解被积函数是有的分式P(x)/Q(x)的积分,P(x)和Q(x)是有关x多项式。假使无法求出这类积分的原函数,结果将令人丧气,现在大家要试图寻找一个实惠的法门求解这类问题。

辛普森(Simpson)公式

  辛普森公式是更尖端并且在事实上中精确度更高的公式,它的主旨思想是面积≈
底边长 ×
平均低度。低度是有权重的,为了总括平均中度,试图将点用抛物线相连,每个抛物线连接六个相邻的点:

图片 36

  这里一贯提交结果。上图从x0到x2的面积可计为:

图片 37

  总面积:

图片 38

示例4

 图片 39

图片 40

 


  作者:我是8位的

  出处:http://www.cnblogs.com/bigmonkey

  本文以念书、研讨和享用为主,如需转载,请联系我,标明作者和出处,非商业用途! 

示例2

  用梯形公式和辛普森(辛普森)公式估量
图片 41,Δx=π/4

  梯形公式:

 图片 42

  辛普森(辛普森)公式:

 图片 43


  作者:我是8位的

  出处:http://www.cnblogs.com/bigmonkey

  本文以念书、商量和享用为主,如需转载,请联系我,标明作者和出处,非商业用途! 

 

示例

数值积分的广阔公式

最佳复杂的积分

  被积函数作为部分分式展开:

 图片 44

  一共有12个未知数,正好和一部分分式的万丈次数相同。这里并不打算求解这一个未知数,只是用该列表示大家可以拍卖复杂的有理数积分。

  但是即便展开了一些分式,依然会合临复杂的积分处理。这一个例子将会际遇下边的积分:

 图片 45

  一共有12个未知数,正好和部分分式的参天次数相同。这里并不打算求解这一个未知数,只是用该列表示我们可以处理千头万绪的有理数积分。

  可是就算展开了有些分式,仍然会晤临复杂的积分处理。那个例子将会遇上上边的积分:

图片 46

图片 47

  没完没了了,应该丢弃总结,交给统计机处理,只要精晓总结思路即可。

示例1

图片 48

图片 49

选定周全法

图片 50

  这么些很容易:

图片 51

  然而假使将其写成:图片 52 看起来就不那么容易求解了。那就要求我们能够去掉一部分分式的弄虚作假,也就是开展部分分式,变成我们耳熟能详的被积函数。

  首先对被积函数的分母举行因式分解,利用初中的十字相乘法:

图片 53

  再将其拆分为新的等式:

 图片 54

  最终再求出A和B,这亟需或多或少技能。现将等式两边都乘以x
– 1, 以便消去其中一个分式的分母:

图片 55

  将x =
1代入等式,这样就足以消去B的分式,直接求得A:

 图片 56

  用相同的点子可求得B = 3。于是:

 图片 57

  掩盖法可以工作必须满意六个原则:

  1. Q(x)可以被因是解说;
  2. P(x)的最高次数 <
    Q(x)的万丈次数

示例2

图片 58

图片 59

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