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数学笔记19——数值积分

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数学数学笔记23——部分分式

  • 八月 30, 2018
  • 数学
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  求解被积函数是部分分式P(x)/Q(x)的积分,P(x)跟Q(x)凡关于x多项式。如果未克告出立即类似积分的原函数,结果以使得人沮丧,现在我们而待摸一个有效之方法求解这仿佛题目。

数学 1

选定系数法

数学 2

  这个特别轻:

数学 3

  但是如果以那状成:数学 4 看起便不那么爱求解了。这就要求我们能去丢一部分分式的弄虚作假,也就是是开展部分分式,变成我们耳熟能详的被积函数。

  首先对给积函数的分母进行因式分解,利用初中的十字相乘法:

数学 5

  再用该拆分为新的等式:

 数学 6

  最后再次要出A和B,这亟需或多或少艺。现用等式两限还乘以x
– 1, 以便消去其中一个分式的分母:

数学 7

  将x =
1代入等式,这样尽管好消去B的分式,直接求得A:

 数学 8

  用相同的法子而求得B = 3。于是:

 数学 9

  掩盖法能够工作务必满足个别独规范:

  1. Q(x)克被为是解释;
  2. P(x)之万丈次数 <
    Q(x)的参天次数

人工智能简史(跟着图灵、冯?诺依曼、香农、西蒙等人工智能先驱重走人工智能的路,站在前任之双肩上“鉴以往、知未来”)数学 10

拓展部分分式

数学 11

  这里不可知直接开展成:数学 12,这是心有余而力不足求解的。对于分母是高次件之组成部分分式,其进行的状应该型而:

 数学 13

  所以:

数学 14

  这种方式无可知求解A,因为没法消除B项。但是足以应用古老的代数模拟求解,随便找找一个数字,代入即可,这里叫x
= 0,等式变为:

数学 15

  最终:

数学 16

全书由编程语言与算法的角度回顾人工智能的史,比较专业。

没辙线性展开的高次分式

  将分母的几近项式因式分解后,如果每个因式的危次项都是1坏,则称该多项式可以线性展开,如
x3 – 3x + 2 = (x – 1)2(x +
2),对于不可知线性展开的大多起分式如何求解呢?

 数学 17

  首先是还是是因式分解:

 数学 18

  然后如若拿有分式展开,与前不同,分子要参加一不善项:

 数学 19

  用选定系数法求出A:

 数学 20

  接下要设法求解B和C,先用分母全部消去:

数学 21

  这咱们着眼等式最高次项的次数,右侧展开后会得到Ax2

  • Bx2,等式左右点儿边的高次宗系数应当相等:

 数学 22

  由于省略号表示的表达式中将不见面出现x2,故B
= 1/2,代入可求得C = 1/2

  最后求解积分:

 数学 23

  现在给的便是积分问题了,所以并无是说一些分式展开就顺。第一部分特别易求解,答案是(ln|x

  • 1|)/2,第二有可用猜测法求得原函数(ln(x2 +
    1))/4,第三片段要依赖三角替换,令x = tanθ

数学 24

  最终:

 数学 25

关押内容稍像科研工作者、人工智能前沿从业者写的。电子书中从不指向作者的牵线,亚马逊官网上闹,不是开科研的。

处理假分式

  如果P(x)的次数超过Q(x)的次数,多项式就是一个假分式,这类题材如果用那变成真分式就可拍卖。

 数学 26

  与部分分式相反,第一步是算多项式:

 数学 27

  用除法将该成真分式,这个过程实际上是用小学学过的除法竖式应用为多项式:

数学 28

  商是x – 1,余数是3x – 2,所以:

 数学 29

  又看了有些分式:

 数学 30

末两节是几号重要的数学家的简史,我为主不怎么过了。

极品复杂的积分

  被积函数作为有分式展开:

 数学 31

  一共发12个未知数,正好和片分式的万丈次数相同。这里连无打算求解这些未知数,只是用该列表示我们可以处理千头万绪的有理数积分。

  然而即便展开了一些分式,仍然会面临复杂的积分处理。这个事例将会晤赶上下面的积分:

 数学 32

  一共来12独未知数,正好和局部分式的最高次数相同。这里并无打算求解这些未知数,只是用该列表示我们可以拍卖复杂的发出理数积分。

  然而即便展开了部分分式,仍然会面临复杂的积分处理。这个例子将会碰到下面的积分:

数学 33

数学 34

  没完没了了,应该放弃算,交给计算机处理,只要知道计算思路即可。

完评价3星星,有一部分参考价值。

示例

以下是开中有些情的摘要:

示例1

数学 35

数学 36

1:电路系统的“开”和“关”,对诺二进制的“1”和“0”。这就算是现实性世界与虚拟世界最为紧要的一个相应,可以说香农的圣才考虑建立了具体与虚拟之间的一个桥。#197

示例2

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数学 38

2:在作者看来,纽厄尔终生钻研的“人类思维的本来面目”,正是人工智能最为难跟太实质的课题!#224

示例3

数学 39

 数学 40

数学 41

tanθ=2x

数学 42

3:西蒙以及纽厄尔双剑合璧,创建了人工智能的要害门户:符号派。符号派的哲学思路称为“物理符号系统假说”,简单了解就是是:智能是本着符的操作,最老的符对应于物理客体。#232

示例4

 数学 43

数学 44

 


  作者:我是8位的

  出处:http://www.cnblogs.com/bigmonkey

  本文为读书、研究以及分享为主,如需要转载,请联系自身,标明作者及出处,非商业用途! 

4:世界围棋冠军常昊评论AlphaGo的围棋水平:“它本的程度,可以说凡是大大地盖了咱们人类的设想。”#287

5:人类思维棋类问题之主干智慧就是找到妙招,而找到妙招的关键就是推算出若干步之内凭对方怎么对,本方都地处局面变好的态势。转换到国际象棋程序编程,核心都须来有限组成部分:博弈搜索以及范围评估。#306

6:纽厄尔、西蒙跟约翰·肖发展的Alpha-Beta算法可以自寻觅树被去除相当深之有些要不影响最后结果。它的主干考虑是,如果稍微着法将团结引入了老不同的局面,这个着法的享有继续在学即还不要继续分析了。#315

7:汤普森的另一样良贡献是他收拾的残局库,他当20世纪80年间就起来变和储存棋盘上遗留四暨五子的具有符合规则的残局。一个名列前茅的五子残局,比如王双象对王单马,包含总数121万只规模。电脑使用这些残局数据库,可以拿每个残局走得绝对完美,就像上帝一样。#327

8:最终实现战胜人类国际象棋世界冠军之梦、取得人机大战胜利的凡IBM的“深蓝”(DeepBlue)团队,核心是缘于中国台湾地区之许峰雄、莫里·坎贝尔(Murray
Cambell)和乔·赫内(Joe Hoane)。#338

9:根据DeepMind公司以《自然》杂志上载之章,AlphaGo这个系统关键出于以下几个组成部分组成。(1)策略网络(Policy
Network),给得当前规模,预测下一致步之走棋。(2)快速走子(Fast
rollout)。(3)估值网络Value
Network),给得当前范围,估计是白胜还是黑胜,给有胜负的票房价值。(4)蒙特卡罗树物色(Monte
Carlo Tree Search,MCTS),把上述3独片连起来,形成一个完的网。#381

10:据估算,单机上采用“快速走子”的对弈程序,已经持有了围棋三段左右的档次。而“估值网络”对胜负的判断力已经远超所有人类棋手。#395

11:2014年,谷歌花4亿美元购回DeepMind公司经常,DeepMind公司呢就算是刚刚于《自然》杂志上了一样篇用强化学习算法玩计算机游戏论文的稍公司,很多人还不懂得为什么这家店值这么多钱。后来DeepMind研发了震惊世界的AlphaGo之后,人们才起来相信佩奇与布林之真知灼见。#513

12:在列国通用的MNIST手写体数字识别数据集上,LeNet-5足上近似99.2%之正确率。这同样系统后来深受美国的银行周边用于支票上数字的辨别。#527

13:事实表明,12独NVIDIA公司的GPU可以供一对一给2000单CPU的吃水上性能。此后,纽约大学、多伦多大学和瑞士人工智能实验室的钻人员纷纷于GPU上加速其深度神经网络。#547

14:2009年,ImageNet项目落地了——这是一个含1500万摆设相片的数据库,涵盖了22000栽物品。这些物料是冲日常英语单词进行分拣组织的,对应于大型英语知识图库WordNet的22000独与义词集。#556

15:Lisp语言推出后,因为正如打Fortran这类专注让科学计算的言语有更胜的记处理能力,很快变成人工智能领域的最主要语言。同时,Lisp中之递归、垃圾回收等创新体制,对连续之Java、Python等语言有很挺之影响。#668

16:汤普森用汇编语言就了UNIX的率先只本子,这或是人类历史及以汇编语言完成的绝光辉的创作。#690

17:有人提问:“你怎样察觉来自然的程序员?”汤普森对:“只拘留她们之激情。你问问他们举行过的最好有意思之次第是呀,然后让他俩讲述程序和它们的算法,等等。#705

18:TensorFlow是谷歌在2015年11月通告的纵深上开源工具,Tensor(张量)意味着N维数组,Flow(流)意味着数据流图的演算,由杰夫·迪恩(Jeff
Dean,)带领的谷歌大脑组织开发。#728

19:因为杰夫·迪恩实在太厉害了,谷歌公司间流传在累累关于他出差不多厉害的耻笑,比如:“杰夫·迪恩的密码是圆周率的末梢4个数字。”“当杰夫·迪恩失眠时,他因此MapReduce数羊群。”#734

20:TensorFlow的优势是支持异构设备的分布式计算,它好于不同平台及活动运行模型,这些平台包括手机、单CPU的PC和众单CPU/GPU组成的超大型分布式系统。#741

21:DENDRAL系统是首先单成功投入使用的专家系统,1965年由斯坦福大学开始研发,1968年研制成功,它的意图是分析质谱仪的光谱,帮助化学家判定物质的积极分子结构。#775

22:利用知识图谱技术,谷歌大大优化了客户之找体验,同时,知识图谱的极大知识库也可以和任何人工智能技术构成,比如实现准的语音识别以及机器翻译等。#850

23:如果你针对人工智能有趣味,也足以研究一下友好之师承,从你的数学老师或电脑老师开始追溯,很有或你的创始人也是老莱布尼茨。#1707

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