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《数学之美》:从google的做事原理说数学之美

西哲史1:前希腊共和国史及古希腊(Ελλάδα)经济学的演进

Day5网络流

  • 二月 13, 2019
  • 数学
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怎么是参数方程

  一般地,在平面直角坐标系中,尽管曲线上随便一点的坐标x、y都是有个别变数t的函数:

 图片 1

  并且对于t的每一个允许的取值,由方程组确定的点(x,
y)都在那条曲线上,那么这些方程就叫做曲线的参数方程,联系变数x、y的变数t叫做参变数,简称参数。相对而言,直接付出点坐标间涉及的方程叫普通方程。

  例如在运动学,参数平日是“时间”,而方程的结果是速度、地点等。用参数方程描述运动规律时,常常比用普通方程更为直白便捷。对于化解求最大射程、最大高度、飞行时间或轨道等一密密麻麻难点都比较杰出。某些根本但较复杂的曲线(例如摆线),建立它们的日常方程比较艰苦,甚至不可以,有了参数方程,就可以很不难表明。

算法

直线

无源汇上下界可行流

图片 2

 

 先强制流过l的流量

从s到各个正权点连流量为l的流量

 从每一个负权点向t连-l的流量

只要容积为0,则不连边

空中中的直线

  空间中多少个平面的犬牙相错是一条直线,借使抛开平面,直线可以用作是点匀速直线运动的轨迹。

  通过两点规定一条直线,其它,已知一点和与直线平行的向量也能确定一条直线。

有源汇上下界最大流

去掉下界

图片 3

先求出可行流

再求S到T的最大流

 

直线的参数方程

  三个点在空中中匀速直线运动,它在t =
0和t = 1时时经过Q0 = (-1, 2, 2)和Q1 = (1, 3,
-1)两点,Q(t)是该点关于时间t的函数:

 图片 4

  如上图所示,点在t =
0时刻的职位Q0 = Q(0) = (-1, 2, 2),t =
1时刻的任务Q1 = Q(1) = (1, 3,
-1),那么在任意t时刻,Q的职务Q(t)是什么地方?

图片 5

  现在将标题转换为向量:

图片 6 

  由于是匀速运动,所以运动距离与时光成正比:

图片 7

  随着时间的增高,向量也将增进。由于Q(t)是空间内的点,所以:

图片 8

  那就是该直线的参数方程,其根源是Q0Q(t)
= tQ0Q1

  倘使t = 2,则在该时刻Q(2) = (3, 5,
-4)

有源汇上下界最小流

图片 9

 

直线与平面的涉嫌

  上边的三个点Q0 = (-1, 2,
2)和Q1 = (1, 3, -1)对于平面x + 2y + 4z =
7来说,地点关系是如何?在平面的两侧依旧一侧?是还是不是在平面上?

  将Q0和Q1代入平面方程:

图片 10

  由此可知Q0和Q1不在平面上,它们分属于平面两侧,向量Q0Q1将通过平面,与平面有唯一的交点,这几个交点又是如何?

  上节早已求得了直线的参数方程Q(t) =
(2t-1, t+2, -3t+2),直线与平面的交点将满足:

图片 11

  将直线参数方程代入平面方程也说不定出现有成百上千解或无解的事态,此时直线与平面没有唯一交点,直线只怕在平面上或与平面平行。

  统计一下,把直线方程Q(t) = (x(t),
y(t), z(t))代入平面方程ax + by + c =
d,即便能估计出t的绝无仅有值,直线穿过平面;如果得到几个等于d的常数,则直线在平面上;假若拿到三个不等于d的常数,则直线与平面平行。

一向行使

曲线

  对于平面或空中内的私行运动,同样可以用参数方程表示。

poj1149

图片 12

自小编的思路

建二个点S,到每一种消费者,连INF的边,每种顾客

正解

1.用分层图,建n*m个点

2.直接从S向各种人连边,记录下各个猪圈打开的人的主次顺寻,先来的人向新兴的人连边

 

摆线的参数方程

  摆线是一种知名的曲线,它描述了当车辆匀速直线运动时,车轮上点的移动轨迹。如下图所示,P是半径为a的轮子边缘上的一点,刚初阶时在原点,当轮子向右滚动后,P点将进而转动:

图片 13

  大家关切的题材是轮子滚动后P的轨道,约等于t时刻P点的岗位。如若P点是岗位关于时间的函数,用参数方程可以表示为Q(t)
= (x(t),
y(t))。那代表从岁月的角度来代表地点,但是时光毫无最好的参变量,因为P的轨迹是与时光非亲非故的,即便车速变快,P的运动轨迹也不会变动。大家注意到,当轮子匀速运动时,P的角度和时间成正比: 

图片 14

  ∠θ和活动时间成正比,如若θ超越2π,则约等于开头了1个新的周期,对于角度的演算,3π和π是同一的。由此,可以将时刻替换为角度,也就是运用车轮转动角度做参变量将获取更简明的答案:

图片 15

图片 16

  将车轮转换为上图所示的向量(向量可参看《线性代数笔记2——向量(向量简介)》),则向量OP的参数方程就足以象征P点的活动轨迹。

 图片 17

  由于车轮是顺着地面转动,且最初P的地点与O相同,所以在第一圈时,OA
= PA的弧长(作者认同在画画时比较轻易,看起来它们并不对等):

 图片 18

  实际上,无论第几圈,上式都创造。由于已经通晓了OA和AB的长度,可以汲取相应的向量:

 图片 19

  以后只需须求出向量BP即可。那里并不要求知道点B和点P的坐标,由于向量只描述了大小和大势,所以向量和具体地点非亲非故,由此可以通过将向量BP举手投足求得BP

 图片 20

图片 21

  最终:

图片 22

图片 23

BZOJ2406

图片 24

Solution

图片 25

图片 26

 图片 27

摆线的斜率

  在车轮滚动一圈后,点P回到x轴,开首进入下一个周期,八个周期相交于有些。有一个值得关心的题材是,假设在该点处作轨迹曲线的切线,切线的斜率是哪些?如下图所示,就是总括P5处轨迹曲线的切线:

图片 28

  为了简化难题,将当轮子看作单位圆,此时a =
1,

 图片 29

  在P5处,θ=2π,斜率:

 图片 30

  此时从未有过意思,但可以计算极限:

 图片 31

  因此,在P5处,斜率趋近于∞,约等于有一条垂直于x轴的切线。

  也可以行使Taylor展开式计算斜率(Taylor级数可参照《数学笔记31——幂级数和Taylor级数》):

图片 32

路线覆盖模型

途径覆盖无交集

链覆盖能够有搅和

图片 33

起点,终点的度数都为1

最小化$n-\sum{d}$=最大化$\sum{d}$d为入度

把原图的点都开展拆点

 

路线覆盖:

若i,j有边,则从i到j’连边

不无边的边权均为1

 

链覆盖:

用floyd求传递闭包

从几个点向它能到达的点都连边

 

用最小流解决

图片 34

 

链覆盖把种种点的上限改为INF

 

 

示例

魔术球问题

图片 35

 

 

Solution

 

 图片 36

 

示例1

  两条直线L1和L2是或不是相交,如若相交,其交点是怎么着?

图片 37

  可以用过去的学问将参数方程转换为平日方程:

 图片 38

  方程组有唯一解,x = 1, y =
2,两条直线相交于(1, 2)

  也得以直接用参数方程求解。假诺两条直线相交,参数方程组有唯一解:

 图片 39

  将解代入参数方程:

图片 40

  两条直线相交于(1, 2)

CTSC2006

图片 41

 最小链覆盖

图片 42

 

 

 

示例2

  直线L经过P(0, -1, 1)和Q(2, 3,
3)两点,直线与平面2x + y – z = 1的涉嫌?

  设直线方程是L(x(t), y(t),
z(t)),则:

图片 43

  将L的参数方程代入平面方程:

 图片 44

  t有唯一解,指向与平面相交。将t代入直线的参数方程,交点是(1,
1, 2)

 


  作者:我是8位的

  出处:http://www.cnblogs.com/bigmonkey

  本文以学习、研讨和享用为主,如需转载,请联系自个儿,标明笔者和出处,非商业用途! 

 

Dilworth定理

图片 45

例如<=号

自反性:x<=x

反对称性:x<=y , y<=x
—>x==y

传递性:x<=y,y<=z—>x<=z

(<,>不满足偏序关系,不知足第二条性质)

(DAG满意偏序关系,有向图不满足)

图片 46

反链:两点时期无法相互到达

 

定理:

图片 47

 

TJOI2016XX数学

图片 48

 

暴力

拆成n*m个点,每一种点的权值下界为给定的权值,上界为INF

优化

图片 49

对拥有点选一条点权和最大的

从左下到右上DP

 

光阴分层

图片 50

 

网络流24题星际XXXX

图片 51

图片 52

 

当最大流为k的时候截至

图片 53

 

 [HNOI2007]加急疏散

图片 54

 

 图片 55

 

 

回路限制

POI2010

图片 56

 

solution

 图片 57

给每条边定向&&判断是还是不是衔接

每条边定向后会使二个点的入度加1,会使一个点的入度减1

 

先随便定向并保留五回反向机会

图片 58

可以把每一遍反向看成一条权值为2的增广路

图片 59

把点权预先除以2、验证图是或不是能满流

图片 60

 

 

BZOJ4215

图片 61

 

 

对贰个网格开展是非染色,搞成二分图

用流量为2的边去限制度数为2

 

倘使图满流,那么就存在所有蛇都整合环的方案

找方案的时候看什么边满流了

 

若果蛇不结合环,

对于边界上的点,设置其权值为[1,2],对于非边界上的点,其权值为[2,2]

求最大流

图片 62

 

最大权闭合子图

模型

图片 63

拥有与S相连的点视为不采取

享有与T相连的点视为挑选

有环的状态可以不缩点,(缩点也得以)

 

TJOI2014 线性代数

图片 64

Bij*Ai*Aj

Ci*Ai

 

 

 图片 65

 

COdefoeceXXX

图片 66

 

若不考虑范围标准

图片 67

 

 

 限制条件

图片 68

从S向新加的点连Wi边

从新加的点向中间的五个点连INF的边

 

CEOI?

 图片 69

图片 70

图片 71

转车为最小割

 

BZOJ3774

图片 72

图片 73

图片 74

 

平面图对偶图

图片 75

 

狼抓兔子

图片 76

NOI2010海拔

图片 77

 

 

图片 78

相当于S和T从前求最小割

图片 79

 

 

距离限制

图片 80

 

HNOI拍照

图片 81

 

 图片 82

变形

图片 83

 

 图片 84

 

CTSC2009

图片 85

据悉曼哈顿距离的属性

分别最优化横纵坐标

图片 86

图片 87

 

 

Hall定理

图片 88

k-完备匹配

图片 89

首先,贪心的找最大匹配然后去除是肯定不对的

图片 90

证明

想要注脚k-正则二分图,只需阐明k-1是不是存在

倘诺不存在

左侧的m*k条边若分给右边<m条边,则有一条边的度数不为1

 

做法

图片 91

若原图不设有k-正则二分图则无解

 

POI2009 Lyz

图片 92

图片 93

tag

 

 

【CERC2016】Bipartite Blanket

 图片 94

solution

图片 95

证明

图片 96

 图片 97

图片 98

时间复杂度

$2^n*n+2^n*log n$

 

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