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《软件设计精要与方式》第①版设想数学

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数学笔记2——导数2(求导法则和高阶导数)

  • 三月 03, 2019
  • 数学
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在座谈最大似然推断在此之前,大家先来消除那样贰个题材:有一枚不规则的硬币,要总结出它正面朝上的票房价值。为此,我们做了
10 次实验,获得那样的结果:[1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1](1
意味正面朝上,0
代表反面朝上)。将来,要基于实验得到的结果来推测正面朝上的概率,即模型的参数
\(p\)(\(0
\le p \le 1\))。

和、差、积、商求导法则

  设u=u(x),v=v(x)都可导,则:

  1. (Cu)’ = Cu’, C是常数
  2. (u ± v)’ = u’ ± v’
  3. (uv)’ = u’ + v’
  4. (u/v)’ = (u’v – uv’) /
    v2

  壹 、2不解释,上面给出③ 、4的演绎进度

当然,对于投硬币这种题材,由于模型很简短,大家得以用大方实验来就像最后结果,但是,假如事件模型复杂一些,做多量的试行就突显不太现实。那一个时候,用最大似然预计的沉思,则足以经过较少的实验得出三个相对好的结果。本文就从那一个差不离的例子出发,对最大似然臆度做三次简单的叙述。

乘法法则的推理过

图片 1 

  乘法法则可扩展:

图片 2

大旨绪想

似然(likelihood),正是只怕的趣味。所谓最大似然测度,顾名思义,就是依据最大的或者性对参数实行估价。那么什么样是最大的大概呢?对于地点10分投硬币的事例,扔
拾一回硬币最恐怕出现的结果会是怎么?最大似然预计认为,最大概出现的结果就是:[1,
0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
1]。有人也许会纳闷,那不正是大家尝试的结果吗?不错,最大似然估量有点类似于人类「先入为主」的思维。投
十四次硬币只怕出现的事态有那么多,为什么偏偏我们的试行结果正是那样的吗?那是或不是代表,那几个结果出现的票房价值是最大的?

再举个例证(该例子改编自文末链接):两位猎人
A 和 B 一起外出打猎,一头野兔从多个人日前窜过,四个人还要鸣枪,结果 A
猎人射杀了野兔。倘若要想来什么人的枪法准,你是否会「先入为主」地认为 A
猎人的枪法好?因为射杀兔子的可能情状有那么多样(可能是 B 射杀,也说不定是
A、B 同时射杀),但不巧产生的却是 A 射杀了兔子,那大家自然会援助于认为 A
的枪法好一些。那种「先入为主」的考虑,其实正是最大似然法的盘算。简单地说,正是遵照最或然的意况来评估事件。当然,这种思考多少存在误判的情形(比如,A
本次能射杀兔子纯属偶然),但随着试验次数增多,结果也会尤其准确(即使三个人往往狩猎,B
偶尔得手,但 A 频频得手,那 A 枪法好的也许就更大了)。

回去硬币那几个例子,同样的道理,我们觉得,出现结果 [1, 0, 1, 0, 0, 0, 0,
0, 0, 1] 的只怕性比其余结果要大。

除法法则的推理进程

图片 3

最大似然测度的求解方法

大家先把试验的结果用数学式子表明出来:\(f(x_1, x_2, \cdots , x_{10};
p)=p(1-p)p\cdots p=p^3(1-p)^7\)。

目前要用最大似然预计的考虑求出那里的 \(p\)。前边说过了,\(f(x_1, x_2, \cdots , x_{10}; p)\)
出现的大概是最大的,约等于说,\(p^3(1-p)^7\)
的值要满意最大。这样一来,难题就简单多了,只要依照函数 \(h(p)=p^3(1-p)^7\) 的单调性,找出使得
\(h(p)\) 的值最大的 \(p\)
即可。为了计算的有益,大家反复会引入对数,即 \(\ln
{h(p)}=\ln{p^3(1-p)^7}\),那么些函数单调性和 \(h(p)\) 是同一的,由此只需供给出 \(\ln{h(p)}\)
的最大值即可。最大值一般的话出现在导数为 0 的时候,因而,令 \(\frac{d
\ln{h(p)}}{dp}=\frac{3}{p}-\frac{7}{1-p}=0\),解得 \(p=\frac{3}{10}\)。

换句话说,当 \(p=\frac{3}{10}\)
时,\(f(x_1, x_2, \cdots , x_{10};
p)\) 出现的也许最大。因而,我们预计出来的模型参数正是 \(p=\frac{3}{10}\)。这一个结果也合乎大家的意料(十四次实验中有 2次正面朝上)。事实上,投硬币这些不难的模型并没办法完全反映出最大似然估算的威力,而且,能够印证,在那个事例中,用最大似然估计得出去的结果永远都是
\(\frac{x}{n}\) (在那之中,n
是尝试次数,x
是端正朝上的次数)。可是,在别的部分更复杂的模型中,用最大似然法来推断参数,往往是最便宜实用的。

上边,大家总计一下最大似然推断的形似步骤(改自文末链接):

  1. 写出似然函数;(即上文中的 \(f(x_1,
    x_2, \cdots , x_{10}; p)\))
  2. 对似然函数取对数;(因为似然函数往往是累累可能率相乘的款式,对数能够一本万利运算)
  3. 求导数,令导数为 0,获得似然方程;
  4. 解方程,获得参数。

示例1:f'(1/x)

  依照除法法则:

图片 4

示例2:f'(x-n)

  依照除法法则:

图片 5

  上式结果也可直接依据幂函数求导法则得出,幂函数f(x) = Xn的导数:f’(x) =
nxn-1

总结

最大似然法是在已知实验结果的底子上,估摸模型参数的章程。它的基本思维是,倘若实验结果出现的只怕性最大,并依此反推出参数。

发挥成数学语言如下:

假使咱们着眼到一些试行结果:\(x_1, x_2,
\dots, x_n\),要揣摸出模型参数 \(\theta_1, \theta_2, \dots,
\theta_m\)。根据最大似然法,要让似然函数 \(f(x_1, x_2, \dots, x_n; \theta_1,
\theta_2, \dots, \theta_m)\) 满足:
\[ f(x_1, x_2, \dots, x_n; \hat
\theta_1, \hat \theta_2, \dots, \hat \theta_m)\ge f(x_1,
x_2, \dots, x_n; \theta_1, \theta_2, \dots, \theta_m)
\]
这里的 \(\hat \theta_1, \hat \theta_2,
\dots, \hat \theta_m\)
就是驱动实验结果出现的恐怕最大的参数,也是最大似然法预计出来的参数。

示例3:(secx)’

图片 6

链式求导法则

  链式求导法则也称为复合函数求导法则。若u=g(x)在x点可导,y=f(u)在u=g(x)点可导,则y=f(g(x))在x点可导,其导数是:

图片 7

  第二种写法看起来更好明白。

参考

示例1:y=(sinx)10求导

  那是二个卓越的符合函数,内部函数是u=sinx,外部函数是y=u10,依照公式:

图片 8

示例2:sin(10x)求导

图片 9

高阶导数

  高阶导数实际上是对导数求导,也正是继续不停求导。

  二阶导数表示为(u’)’=u’’;三阶导数u’’’;四阶导数不能够再用撇号表示了,供给运用上标u(4);n阶导数u(n)。在陶冶集中,上标也被代表为第几组织陶冶练集,在此大家来看,数学中的符号平日会被选用,在不一样上下文中有分歧的意义。

  sinx的二阶导数:(sinx)’’=(cosx)’=-sinx

  高阶导数也有不一致的表示法,以三阶导数为例:

图片 10

  看起来更为乱了-_-|||

幂函数的高阶导数

D1xn = nxn-1

D2xn = ( D1xn)’=
(nxn-1)’=n(xn-1)’=n(n-1)(x n-2)

D3xn = (D2xn)’ =
n(n-1)(n-2)(xn-3)

……

Dn-1xn = n(n-1)(n-2)(n-3)…(2)x1

Dnxn = n(n-1)(n-2)(n-3)…(2)(1)x0 = n!

Dn+1xn = (n!)’ = 0

 

高阶导数的含义

  几何意义相比较便于通晓,一阶导数是切线的斜率,二阶是斜率的变化率,三阶是斜率的变化率的变化率……阶数越高,刻画的变化越精细。

  物理意义是百度来的,用时间、距离、速度举例:

  位移相对于时间的一阶导数是速度,二阶导数是加速度,三阶导数是急动度(加快度的的变化率),四阶导数是何等痉挛度(不通晓是否瞎编出来的,从那早先就了然不了了)……当一辆小车底部遭遇冲击时,加快度会蓦然改变,汽车具有急动度。小车工程师用急动度作为评判游客不舒适程度的指标;依据这一指标,具有稳定加速度和零急动度的人体感觉最舒服。在竞技举重中,举重健儿举办具有将杠铃举过头顶的动作时都有急动度。当轮船到达溪谷,突然减速时,轮船有急动度,因为轮船加速度的尺寸和大势都要转移。

总结

  1.函数的和、差、积、商求导法则

  1)         (Cu)’ = Cu’, C是常数

  2)         (u ± v)’ = u’ ± v’

  3)         (uv)’ = u’ + v’

  4)         (u/v)’ = (u’v – uv’) /
v2

  2.链式求导法则(复合函数求导法则)

 图片 11

  3.高阶导数

  对导数求导,u’’,u’’’,u(4)

  Dnxn = n!

  Dn+1xn =
0


    作者:我是8位的

  
出处:http://www.cnblogs.com/bigmonkey

  
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