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商朝天文历法

天文《时间之问9》连分数、密率与金分割

  • 九月 29, 2018
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《时间之问》是一致管辖作者和学习者对话交流之“记录”,选取“时间”作为跨学科讨论的介绍人,联接起数学、天文、历史、集成电路、中国太古文化等不同学科,这些话题像一颗颗疏散的串珠,被“时间”这根主线串联起。这里既是好遇到祖冲之、郭守敬、庞加莱、Price等老科学家,也会见发觉庄、博尔赫兹、史铁生、柏拉图等文哲大家。

当众人给广大的夜空时,终会兴叹宇宙的广大!
宇宙确实尽特别了,大之我们因此光年衡量其的规则。大家掌握,光一样秒可以绕地球七只半围绕。地球和嫦娥的去在人类看来老老,而只是才需要一秒即可抵达!面对巨大的天地时,我们选取用光年作为距离单位来衡量宇宙。顾名思义,光年指的是一味一样年所动的相距,大约为9.46×10^15(10底15次方)米。目前天文界公认,已清楚宇宙的直径约为920亿光年!

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天文 1

内容梗概:连分数不仅可行使为天文历法,还好表示祖冲之提出的近乎圆周率的密率和约率,并且和金分割有着密不可分关联。连分数就是如相同华三维CT扫描机,一个表上看没其他规律的数字放到连分数下面就展现出中组织之美!

假若直观的面920亿光年这个数字,人类的大脑可能便不够用了,除了佩服宇宙的大啊就算留跪拜了!
但往往换个思路来审视宇宙,或许920亿光年这样冷的多寡就是相当有接触人情味了!


这次咱们无赔钱张,我们折被子。我们先管920亿光年换算成米。

920亿光年=920×10^8×9.46×10^15=8.7×10^26米。

貌似生备受之所以之被子盖为4厘米厚。数学的简单算法大家都知,当被叠一不成时凡8厘米,第二次于是16厘米,就这么,一开始被厚度增加很缓慢。但不用忘记了,这不过指数爆炸增长!!!

被子叠n次就是0.04×2ⁿ米,被子叠10不良约是41米,好像从没多很进展,当叠第20不善时大约是4万2千米,好像这去及宇宙极依旧差的十万八千里!
但当被叠75次等时,总厚度都超过银河系直径了!直到被叠第94次于时,总厚度都是7.9×10^26米,已经杀相近大自然8.7×10^26之直径了!可使重折第95浅,厚度不仅高于宇宙直径,甚至已经抢上少只宇宙直径了,简直就是是超神的存在!

顿时单是思想实验,有时候换个角度理解问题,会发生未等同的感想。目前为止,人类顶多好将纸对折13涂鸦,这项吉尼斯记录由美国同一所中学的师生们好!

天文 2

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如出一辙健全之后,老师跟学生以同等餐厅碰面了,他们跟着上次的连分数话题就聊。

“祖冲之最要之数学研究成果圆周率,也会为此连分数表示出来啊?” 学生问道。

“我们试试看,先将pi=3.1415926535….开并分数展开:

“嗯,随着连分数的开展,后面的分越来越接近3.14159265了。” 学生说道。

“祖冲之得出了pi的鲜独像样分数表示,其中的疏率就是22/7,而密率就是355/113。而且密率非常好记,就是管113355从中间截断,变成113暨355个别作为成员以及分母。它的误差达到了10之负7次方级别。”

“那还朝着后进行也?”

“接下突然来了一个百般酷的频繁292,它的倒数很有点,意味着其对连分数的精度影响好少,我们即便觉得并分数的精度突然增长了很多。事实上,292以此数字给日渐进连分数的误差一下子下滑了3只数据级!”

“那背后还有什么啊?” 学生问道。

“后面的频繁便比较小了: [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1,
1, 2, 2, 2, 2, …],而且没什么规律。”

“pi真是一个怪异的数字。”

pi

“不过…如果真的若找规律,也是可的。就是如果把规范放宽一些。”

“什么条件?”

“如果把连分数的概念变富裕,不求成员必将是1,那么 π
的并分数就是有众多不错的开展形式:”

pi的广义连分数展开

“哇!突然同时更换得好美!连分数就是如相同宝3D的CT,能看数字中的布局。”
学生说道。

“那咱们重用连分数试试其它数?说及美,其实还有一个还美的勤。”

“是啊数为?”

“你想想古希腊神庙上的比重,金字塔的比例…”

希腊神庙

“黄金分割0.618啊?”

“对。假定有一个增长方形,宽是1,长是x(x<1),截掉一个变长x的正方形后,剩下的长方形的增长暨方便分别是x和(1-x),它跟本的长方形相似,即长宽比不更换。”

“哦,我怀念起来了,如果当是有点长方形里再截去一个恰巧方形,剩下的长方形仍同原长方形相似。以此类推,继续下去,可以无限做下去,所取的各国一个抬高方形都与最初的长方形有一样的宽长比。”

“对,这种长方形具有的宽长比就是金分割数。”

金分割意味着截掉一个恰好方形后比例不转移

“怎么计算黄金分割比也?”

“有星星点点种植办法,第一种植艺术:直接求解上面提到的方程,得到x=(√5-1)/2=0.618.

“第二种植办法吗?”

“不是直接求解方程,而是逐渐迭代,例如从夫方程出发,我们可得:

“然后就是足以拿x写成一个分式:

“在上式右边分母中继承用1/(1+x)替代x,得到:

“继续替换下,就得到x的连分数展开:”

“哇,这么地道的展开,所有的累累还是1,每多一行就加一个1。”

“我们拿连分数逐个截断,就出矣一如既往拧近似分数。随着展开进一步多,连分数的底数值越趋向于黄金分割点。”

“如果你相一下这些分数的的分子与分母,就会见意识一个有意思之原理。”
先生商议。

“我看”,学生盯在即无异串数字看来一会说:“看下了,一个近似分数的分母刚好是生一个截断近似分数的积极分子,比如2/3的分母3刚好好是3/5之分子,3/5之分母5刚刚是5/8底积极分子,以此类推。”

“还有有法则,你还找找找。”

“哦?有啊提拔也?”

“这次才拘留分母。”

“1,2,3,5,8,13,21… 哦!看出来了,任意相邻两个数之与正好等于下一个数。”

1+2=3, 2+3=5, 3+5=8, 5+8=13, 8+13=21 …

“对了,这就算是斐波那么契数列!”

“真有意思。”

“而且,你还望有成员组成的数列!” 先生商议。

“哦,一样的,也是斐波那契数列!”

“对。斐波那契数列隐藏在自然界许多动物和植物身上,比如海螺的螺旋形,花椰菜的图案,等等。”

斐波那么契数列形成的螺旋形 Fibonacci Spiral (from Wikipedia)

自然生物里的斐波那么契螺旋

“连分数真是神奇,第一单用连分数的是何人吧?”

“有人说是高斯于研最大公约数的性时意识的,也有人说是1579年-Rafael
Bombelli,《L’Algebra Opera》 – 与连分数有关的领取平方根的方式。”

“就是杀德国之数学王子高斯为?”

“对。比如要少独数25暨35底最大公约数,我们一直看下是5。但是只要就有限单数之最大公约数不可知瞬间拘禁出来,该怎么惩罚?高斯想找到同样栽通用的措施来求解最大公约数。”

“高斯是怎开的也罢?”

“比如408暨126之最大公约数,是勿克一直看下的。那么高斯用408除了因126,得到的商是3,余数是30.
好形容成:408=126×3+30.
然后高斯用除数126后续除以余数30,商是4,余数是6,可以形容成126=30×4+6.
末段高斯如法炮制,继续用除数30除了因余数6,得到了商6,余数等于0,30=6×5。于是计算了。所求之最大公约数就是最后一个除数6.

“可即背后的原故是啊呢?”

“我们把上面的姿态写成三推行:

“如果表示成分式就是:

“我们合在一起就是连分数:

“最后一潮相除,除尽矣,表示有最大公约数,那么最终的除数就是其的最大公约数,这里是6.”

“今天,连分数大放光彩。” 学生因在椅背上长叹一声。

“嗯,最后我们再来一个花絮,看看自然对数e的并分数展开。”

“e是无理数。”

“对,它的十进制前200各类没有任何规律。”

e = 2·71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 6999595749
66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 6427427466 39193 20030
59921 81741 35966 29043 57290 03342 9526059563 07381 32328 62794 34907
63233 82988 07531 95251 01901 …

“展开成并分数后为?”

师资把e的数值输入到连分数计算器里,发现了底的结果:

“漂亮!没悟出无规律的再三,经过连分数展开,显现出这般来层次之内部结构!”
学生说道。

“今天咱们先聊到这时吧。”

“好之,老师再见!”


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有关作者:笔名偶遇科学,微电子学博士,喜欢追逐事物背后的案由及不同学科的联系,寻求对及人文的同甘共苦。求学和教学的更让他得了谨慎的思考精神,更给他明白了对背后温情与人文不可或缺。每周他和学员当食堂的原则性约会,话题无所不包,一起发现对、并分享思考的童趣。

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