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常青1989

《时间之问9》连分数、密率与黄金分割天文

  • 一月 21, 2019
  • 天文
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《时间之问》是一部小编和学习者对话交换的“记录”,接纳“时间”作为跨学科钻探的媒婆,联接起数学、天文、历史、集成电路、中国太古文化等不相同学科,那几个话题像一颗颗粗放的串珠,被“时间”那根主线串联起来。那里既可以遇到祖冲之、郭守敬、庞加莱、普赖斯等大地理学家,也会意识庄子休、博尔赫兹、史铁生、柏拉图(Plato)等文哲大家。

当人们面对广大的夜空时,终会兴叹宇宙之开阔!
宇宙确实太大了,大的大家用光年衡量它的规格。我们通晓,光一秒能够绕地球多个半圈。地球和月亮的相距在人类看来很漫长,而光只需一秒即可到达!面对巨大的自然界时,我们挑选用光年作为距离单位来衡量宇宙。顾名思义,光年指的是光一年所走的距离,几乎为9.46×10^15(10的15次方)米。最近几天文界公认,已知宇宙的直径约为920亿光年!

天文 1

内容概况:连分数不仅可以行使于天文历法,仍是可以表示祖冲之提出的类似圆周率的密率和约率,并且和黄金分割有着紧密联系。连分数就像一台三维CT扫描机,一个外部上看没有其他规律的数字放到连分数上面登时显示出内部社团之美!

要是直观的面对920亿光年那么些数字,人类的大脑可能就不够用了,除了佩服宇宙之大也就剩跪拜了!
但往往换个思路来审视宇宙,或许920亿光年那样冰冷的数额就非常有点人情味了!


这一次大家不折纸,大家折被子。我们先把920亿光年换算成米。

920亿光年=920×10^8×9.46×10^15=8.7×10^26米。

相似生活中用的被子大约为4毫米厚。数学的简约算法我们都通晓,当被子叠四次时是8分米,第二次是16毫米,就这么,一起头被子厚度增添很慢。但毫无忘了,那只是指数爆炸增进!!!

被子叠n次就是0.04×2ⁿ米,被子叠10次大致是41米,好像没有多大进展,当叠第20次时大致是4万2海里,好像那相差和大自然尺度如故差的十万八千里!
但当被子叠75次时,总厚度已经超(英文名:)过银河系直径了!直到被子叠第94次时,总厚度已经是7.9×10^26米,已经很类似大自然8.7×10^26的直径了!可即使再叠第95次,厚度不仅高于宇宙直径,甚至早已快达到三个宇宙直径了,大概就是超神的存在!

这只是思想实验,有时候换个角度通晓问题,会有不雷同的感想。近日甘休,人类顶多能够把纸对折13次,那项吉波德戈里察纪录由美利坚联邦合众国一所中学的师生们形成!

天文 2

《时间之问》 | 体系目录


一周未来,老师和学员在平等餐厅会晤了,他们随着上次的连分数话题接着聊。

“祖冲之最重点的数学商讨成果圆周率,也能用连分数表示出来呢?” 学生问道。

“我们试试看,先把pi=3.1415926535….做连分数展开:

“嗯,随着连分数的进展,前边的分数越来越接近3.14159265了。” 学生说道。

“祖冲之得出了pi的多少个像样分数表示,其中的疏率就是22/7,而密率就是355/113。而且密率万分好记,就是把113355从中路截断,变成113和355独家作为成员和分母。它的误差达到了10的负7次方级别。”

“那再将来展开呢?”

“接下去突然来了一个很大的数292,它的倒数很小,意味着它对连分数的精度影响很少,大家就以为连分数的精度突然增加了好多。事实上,292那么些数字让渐进连分数的误差一下子大跌了3个数据级!”

“这背后还有何样啊?” 学生问道。

“前面的数就相比小了: [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1,
1, 2, 2, 2, 2, …],而且没什么规律。”

“pi真是一个闻所未闻的数字。”

pi

“不过…若是真的要找规律,也是可以的。就是要把尺度放宽一些。”

“什么标准?”

“如果把连分数的概念变宽,不必要成员必将是1,那么 π
的连分数就有许多优质的进展方式:”

pi的广义连分数展开

“哇!突然又变得好美!连分数如同一台3D的CT,能看到数字内部的构造。”
学生说道。

“那大家再用连分数试试其余数?说到美,其实还有一个更美的数。”

“是怎么着数呢?”

“你考虑古希腊神庙上的比例,金字塔的比例…”

希腊神庙

“黄金分割0.618吗?”

“对。假定有一个长方形,宽是1,长是x(x<1),截掉一个变长x的正方形后,剩下的长方形的长和宽分别是x和(1-x),它与原先的长方形相似,即长宽比不变。”

“哦,我想起来了,若是在这么些小长方形里再截去一个正方形,剩下的长方形仍和原长方形相似。以此类推,继续下去,可以无限做下去,所收获的每一个长方形都和中期的长方形有同等的宽长比。”

“对,这种长方形具有的宽长比就是金子分割数。”

金子分割意味着截掉一个正方形后比例不变

“怎么统计黄金分割比吧?”

“有三种办法,第一种艺术:直接求解上面提到的方程,得到x=(√5-1)/2=0.618.

“第三种艺术吧?”

“不是直接求解方程,而是逐步迭代,例如从那几个方程出发,大家可以得到:

“然后就可以把x写成一个分式:

“在上式左边分母中再三再四用1/(1+x)替代x,得到:

“继续替换下去,就获得x的连分数展开:”

“哇,这么理想的展开,所有的数都是1,每扩展一行就充实一个1。”

“我们把连分数逐个截断,就有了一串近似分数。随着展开更为多,连分数的的数值越来越趋向于黄金分割点。”

“即使您观察一下这么些分数的的成员和分母,就会发现一个好玩的法则。”
先生商议。

“我看看”,学生看着这一串数字看来一会说:“看出来了,一个像样分数的分母刚好是下一个截断近似分数的成员,比如2/3的分母3刚好是3/5的成员,3/5的分母5恰好是5/8的分子,以此类推。”

“还有部分法则,你再找找。”

“哦?有何提拔吗?”

“这一次只看分母。”

“1,2,3,5,8,13,21… 哦!看出来了,任意相邻三个数之和刚刚等于下一个数。”

1+2=3, 2+3=5, 3+5=8, 5+8=13, 8+13=21 …

“对了,那就是斐波这契数列!”

“真有意思。”

“而且,你再看看所有成员组成的数列!” 先生商议。

“哦,一样的,也是斐波那契数列!”

“对。斐波那契数列隐藏在天地间许多动物和植物身上,比如海螺的螺旋形,花椰菜的图腾,等等。”

斐波那契数列形成的螺旋形 Fibonacci Spiral (from Wikipedia)

当然生物里的斐波那契螺旋

“连分数真是神奇,第多个用连分数的是什么人啊?”

“有人说是高斯在研商最大公约数的性质时意识的,也有人说是1579年-Rafael
Bombelli,《L’Algebra Opera》 – 与连分数有关的提取平方根的不二法门。”

“就是非岳阳国的数学王子高斯吗?”

“对。比如求八个数25和35的最大公约数,我们一贯看出来是5。然则倘诺那八个数的最大公约数不可以瞬间看出来,该如何做?高斯想找到一种通用的不二法门来求解最大公约数。”

“高斯是咋办的啊?”

“比如408和126的最大公约数,是无法一贯看出来的。那么高斯用408除以126,得到的商是3,余数是30.
方可写成:408=126×3+30.
然后高斯用除数126继续除以余数30,商是4,余数是6,可以写成126=30×4+6.
结尾高斯上行下效,继续用除数30除以余数6,获得了商6,余数等于0,30=6×5。于是统计为止。所求的最大公约数就是终极一个除数6.

“可那背后的来由是怎样吗?”

“大家把上边的架势写成三行:

“若是表示成分式就是:

“大家合在一起就是连分数:

“最终三遍相除,除尽了,表示存在最大公约数,那么最后的除数就是它们的最大公约数,那里是6.”

“前日,连分数大放光彩。” 学生靠在椅背上长叹一声。

“嗯,最后大家再来一个花絮,看看自然对数e的连分数展开。”

“e是无理数。”

“对,它的十进制前200位尚未其余规律。”

e = 2·71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 6999595749
66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 6427427466 39193 20030
59921 81741 35966 29043 57290 03342 9526059563 07381 32328 62794 34907
63233 82988 07531 95251 01901 …

“展开成连分数后呢?”

教员把e的数值输入到连分数统计器里,发现了上面的结果:

“美丽!没悟出无规律的数,经过连分数展开,显现出这么有层次的内部结构!”
学生说道。

“明日大家先聊到那时候吧。”

“好的,老师再见!”



至于作者:笔名偶遇科学,微电子学硕士,喜欢追逐事物背后的缘故和见仁见智科目标牵连,寻求科学与人文的融合。求学和教学的经历让他赢得了严厉的想想精神,更让她通晓了天经地义背后温情和人文不可或缺。每周他和学生在餐厅的一定约会,话题无所不包,一起发现科学、并享受思考的乐趣。

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