新普金娱乐网址


一本正经的周边专题投稿细则1.3天文

《时间之问》第6周C 祖冲之:不仅会算还会辩

《时间之问8》4年1闰,400年不怎么闰?

  • 一月 24, 2019
  • 天文
  • 没有评论

“144/391! 哇!奇迹!怎么刚好是144/391!
大家和祖冲之不谋而合!难道是偶合吗?” 学生叫道。

“那倒是个不错的疑点,让自家先切磋再回复,好吧?对了,你方今学业忙呢?”
先生转而问道。

接上节… 《时间之问》 |
种类目录

一开始,A4纸张是297mm*210mm,长宽比可以代表为分数:

撕掉正方形,约等于不考虑整数1,只考虑分数87/210。把分子和分母换位,变成了210/87:

折出2个正方形,约等于210/87=2+36/87,所以有:

撕掉2个正方形,剩下分数36/87,分子分母倒换变成87/36,

看似的,折出2个正方形,87/36=2+15/36,所以:

去掉整数,分式翻转,变成36/15=2+6/15。

折出2个正方形,翻转,变成15/6=2+3/6,

最后一步6/3=2+0。整除,余数是0,什么也没多余,刚刚好,没有此外浪费。

天文,把全路式子连起来就是:

“接下去呢?”


“那些很不难臆想,一年实际是365.242199天,而格里历是365.2425天,那么每年差了0.000301天。那么要1/0.000301=3322年后误差才积累到一天,那曾经相当小了。”

“即使大家不是瞬间一贯算出297/210,而是逐步地用前多少个分数去逼近,看看会发出什么。

《时间之问》是一部小编和学生对话沟通的“记录”,选择“时间”作为跨学科探讨的红娘,联接起数学、天文、历史、集成电路、中国太古文化等不等学科,那几个话题像一颗颗疏散的珠子,被“时间”那根主线串联起来。那里既可以遭遇祖冲之、郭守敬、庞加莱、普赖斯等大物理学家,也会发现庄子休、博尔赫兹、史铁生、柏拉图等文哲大家。

√2的前200位小数:1.41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696
71875 3769480731 76679 73799 07324 78462 10703 88503 87534 32764
1572735013 84623 09122 97024 92483 60558 50737 21264 41214 9709993583
14132 22665 92750 55927 55799 95050 11527 82060 57147…

“你听说过金星大冲吗?” 先生问道。


“好哎,什么游戏?”

至于小编:笔名偶遇科学,微电子学博士,喜欢追逐事物背后的原委和见仁见智科目标关系,寻求科学与人文的融合。求学和教学的经历让他赢得了严厉的考虑精神,更让她驾驭了天经地义背后温情和人文不可或缺。周周他和学习者在食堂的固化约会,话题无所不包,一起发现科学、并分享思考的野趣。

“对。400年97闰,97/400=0.2425。尽管它和实在的0.2421991里头的误差很小了,不过仍有一对误差。”

讲师砍下手机,按了几下,很快有了结果。“我猜你刚才按下的数值是517和976.”

“√2的连分数展开式真不错!而且前6位和297/210的连分数展开完全平等,都是 [
1; 2, 2, 2, 2, 2]。”

“这一个题材,就留下后代去考虑吧。这时候的科学技术水准现已很发达,一定可以找到一个恰如其分的解决措施。”
先生商议。

“即便没有这一个需要,打印出来的文档长宽格式就要出题目了吧?”

“只需在连分数分母继续增加一个1/20,就等于…” 先生一边说,一边写出来:

“我没听过。”

“应该是157和753!”

“不过√2的十进制小数好像任何规律可言!”

“哇!猜对了!再来一个:0.20849934” 学生来了兴致。


“首先,大家用刚刚的网站在线把这么些小数展开为连分数,获得:[0;2,1,2,1,1,20,23680969972],也就是:

A4纸:每一遍撕掉一个或四个正方形,刚好把A纸撕完

“尽管格里历的365.2425天比儒略历更就像实际的命局,然而它的闰年设置比4年1闰更扑朔迷离了啊!”

“好,那大家从最简便易行的开首,你明白A4纸的尺寸是怎么定义的啊?”

“听说过,每隔若干年,金星距离地球相对相比较近,看起来很清楚,然则是多长期我不记得了。那也足以用连分数来预测?”

“嗯。另一个设想啊?”

内容概略:通过一个小游戏激起了师生对连分数的志趣;然后把回归年和朔望月之比值用连分数展开,他们发现了祖冲之把闰周从19年7闰改为391年144闰背后的数字秘密…
连分数统计与祖冲之提议391年144闰达到了登高履危的一致!它还能推算公历的闰年、罗睺大冲。雅观、惊讶,已不能一心形容数学之美!
也许只有一双擅于发现的眼睛才能欣赏到数学背后的无言之美。

“这么多2!” 学生说道。

“大家先做个游戏轻松一下啊”,学生刚坐下,老师对她说。

“回头看看连分数展开,每一个分子都是1,所以的确有意义的是整数有的和分母,所以可以把连分数简写成[1;
2, 2, 2, 2, 2]。分号前的是整数,分号后的分数的分母。” 先生补充道。

“对。”

“功课挺多的,那学期的底子课重点是高级数学,像微积分、级数展开等都是崭新的定义,精晓起来很棘手。我很纳闷大家为啥要学这么抽象复杂的定义,除了能解题,还有其它用处吗?”

“接下去,连分数的分母里就赶上了一个很大的数:23680969972,它的倒数分外小,对真实值的影响也寥寥无几,表明144/391早已格外接近实际数值了,大家可以就此平息了。”

“为何这么考虑吧?”

“那两个整数越随意越好,最好是不可能整除的多个数。”

原来如此!只要有限支撑最大的A0纸的长边是短边的√2倍,那样分割下去,所有的纸张类型都是一样的比例不变!而且那样不会浪费,是吗?”
学生问道。

“你说的不易。”

“不过那和连分数有怎么着关系啊?” 学生问。

“现在世界上通用的公历的前身是儒略历,公布于公元45年。那部历法把一年定为365.25天,也就是4年一闰,不过这几个和骨子里的365.2421991天还有一定误差!”

“上次谈论完“祖冲之”后,我觉得他非常神秘、甚至不可捉摸!”

“随着展开分数的充实,3年1闰变成8年3闰,平素到19年7闰,那几个小数的值逐步趋近真实值0.368…
”(0.5–>0.33333–>0.375–>0.363636–>0.36842),误差逐渐压缩(0.1317–>0.03495–>0.00671–>0.00465–>0.0001346)。”

“有点意思。但是怎么是那般啊?”

“好,卓殊期望!”

“当然能够,甚至还会有新的觉察。今日没有时间了,我们下次再聊吧。”

“大家一步一步来。首先真实值比0.25略小,比0.24略大,但更如同0.24。所以大家先在100年里设置24个闰年,这一定于每4年1闰或100年25闰,但是到了第100年的时候不闰,所以是24闰。”

“哦,为啥如此说呢?” 先生也缓慢喝了一口热茶,笑眯眯地望着学生。


故此A0的纸张的长a和宽b就满意

那么

求得A0纸张的尺码:b=0.841 米,a=1/b=1.189 米,即1189:841(分米)。

“这么些数学式子叫什么吗?”

连分数分母 渐进连分数 近似值
4 1/4 0.25
1 1/5 0.2
3 4/19 0.21052631578947367
1 5/24 0.20833333333333334
9 49/235 0.20851063829787234
1 54/259 0.2084942084942085
1 103/494 0.20850202429149797
1 157/753 0.20849933598937584
439 69026/331061 0.20849934000078535

“是的!要是还是不是那样的比例,那么每回切割倘使还想维持原来的比重,就要多裁一些纸张,造成了浪费。”

“所以2000年七月29日落地的人,本来他/她出世的那一天应该是九月1日的,但由于400年1闰,所以他/她只能每4年过一次生日了!”



“比如我们在此在此之前琢磨的闰月的问题,其实是用八个整数12和13去接近一个无理数12.3684…
在祖冲之此前大面积接纳的是19年7闰,然而祖冲之发现那么做误差有些大,即便那亟需规范的天文观测来验证,可是一旦要提出一个更加纯粹的置闰方法,就须求有坚实的数学基础和高超的数学技巧了。”

“那个大家很难猜到,因为尚未流传下祖冲之具体的推算方法,他也有可能采纳了任何形式。”

“是的。在祖冲之那些时代还一贯不这么些数学式子,直到16世纪高斯在商量最大公约数问题时顺手发现了那个数学式子,从这个人们就发现它是如此神奇,可以用来表明公历、公历,预测日食、月食、金星大冲等种种天文景色。还是可以够接近求解方程,用整数去规范地逼近像圆周率或者黄金分割点那样的无理数。

“其实任意一个小数,或者是八个数的比值,都可以想方法用连分数展开。”

“好的。然则我或者不晓得怎么那样巧?缘何A4纸大小和√2有如此紧凑的涉及?

“真有意思。我然后也可以去和人家去玩那几个游乐了。” 学生说道。

“是A3的一半,而A3又是从更大的A2的一半,而A2又是A1的一半,A1是A0的一半. ”

学员笑了笑说:“好的,老师下一周见!”

“那要从A0谈起。若是纸张厚度相同,那么纸张的价钱取决于面积,而A0纸的面积确定是1平方米,而比例仍保持√2。

“嗯,好的,谢谢先生的融洽提醒。”

“是的。”

参考文献:

  • 徐诚浩,《连分数与历法》 ,高等教育出版社,2007-12

“你有一张A4纸吗?” 先生问道。

关于小编:笔名偶遇科学,微电子学大学生,喜欢追逐事物背后的原委和见仁见智科目标牵连,寻求科学与人文的同舟共济。求学和教学的经验让他得到了谨慎的盘算精神,更让她精晓了天经地义背后温情和人文不可或缺。每一周他和学员在餐厅的稳定约会,话题无所不包,一起发现科学、并分享思考的野趣。

“那把那几个连分数继续举办呢?” 学生问道。

“好的,老师再见!”

“是啊?这么神奇!我尝试。” 学生说道。

“现在,我们算一下什么的比重才让每便分割都维持同样的比例。假如分割前长边和短边的百分比是a/b,那么沿着长边a分割成两半后,就有了两张b:a/2的纸,要想保持比例不变,就必要:

不习惯看公式能够参见无公式版本:《时间之问7-无公式版》一张A4纸引发的私房数字

“你随便想五个3位整数,不要告诉我,将它们相除,保留8-10位小数点,把结果告知自己,我能猜出您最起头想的那七个整数分别是不怎么。”

“好,我们来做一个小的折纸试验”。老师把A4纸放在桌面上。

“当然有。” 学生手机,打开计算器。

“很健康,现在的数学课本里很少提到这几个定义,不过它的接纳实际上分外广泛。我给你演示一下呢。”

“好,来了:0.52971311 。” 学生说出了一长串数字。

“当然有。”(学生从书包里取出一些A4纸)

“嗯。”

“那大家把√2做连分数展开就会看出隐匿在数字背后的私房。”

“你有总结器吗?”

“既然都是历法,无论公历仍然公历,本质上都是一样的,就是让一种总括历法和着眼到天文景色相契合,所以理论上都足以用一种神奇的数学式子来表示。”
先生商议。

“嗯,看来一辈子不得不看看三回了。可是倘假设按15年两回,就可以见见很频仍了。”

“看出来了,越来越接近√2的真实值1.41421….” 学生说道。

“到了1582年,儒略历比其实已经差了10天。教皇宣布了新的历法:格里历。新历法规定一年为365.2425天,更就好像实际值。按照新的格里历,1582年12月15日星期天对应于儒略历1582年一月4日星期天。选择新的格里历的国家被迫跳过了10天,也就是说有10天被一向删除了。那引起了工人的暴乱,因为四月份业主只发20天的薪资,而工人们坚称十一月份自然要发一整月的工钱。”
先生商议。

“祖冲之商量的公历置闰,这阴历里的闰年设置也与数学有着密不可分的联络吗?”

“连分数的用途真多。除了计算闰月,连分数在天文方面还有很多用处吧?哪些和大家连带呢?”

“对了,即使一贯用297除以210,看能获得哪些,

“对。但是我们之间的会师就往往多了,周周天回。”

“但是我现在还不曾这种感觉,也许你说的是对的。可是自己同意数学是许多学科的底蕴,即使是中学数学知识以后应当也很有用。”

“这几个误差积累多短期才能累积到一天呢?” 学生问道。

“你的眼光不错!一些看起来没有规律的数字,换一个角度去看,立时就有了规律,那就是数学的魔力!√2的前几位的渐进分数297/210一心平等。99/70其实就等于297/210,所以297/210之比是√2的一个那一个类似的近乎!”
先生商议。


“297:210 ,那就是A4纸了。” 先生商议。


“是的,比如某张纸的百分比是11:10,等分后就改为了两张5.5:10的纸张,比例改变后,图片就变形了!”

金星与地球距离很近时称为“金星大冲”

“记得,是297mm x 210mm。”

“那不是巧合,而是分裂方法精确总括后的必然结果。但是,144/391的误差只有十亿亿分之三(小数点后16个0),那更加令人奇怪,它的精度比7/19的偶发增高了四千亿倍!”

撕A4纸过程的数字代表

“好,做连分数展开获得一名目繁多渐进分数:2/1(2),15/8(1.875),
32/17(1.88235),47/25(1.88),79/42(1.88095)。按照15/8,地球转15周相当于水星转8周,可是那一个比率相比较粗糙。即便到79/42就那一个类似实际值了,所以可以认为每隔79年就又会在相同的岗位暴发五遍紫炁星大冲。”

“嗯,看来长边和短边的百分比不是随便选的。”

“我们把0.2425做连分数展开,发现刚好等于400年97闰,而且400年是整数,便于回忆、方便使用。”

“有那样神奇呢?”

“我猜一猜,那应该和火星公转周期和地球的公转周期的比值有关呢? ”

“比如您编辑了一份文档,用A4纸打印出来的格式很合乎您的渴求,但是一旦你想把两页的始末打印在一张A4纸上,也就是每页纸内容占据一张A5的轻重缓急,因为长宽比没有变,所以看起来和A4纸上打印的长宽格式一样,只是字体等比例变小而已。”

“那3322年将来该如何做呢?”

A种类纸张尺寸 (Wikipedia)

“连分数的用途真多。除了总计闰月,还可以统计其它的公历吗?比如农历的大月和小月的分布?”

一初叶,唯有一个分式:

接下来是四个分式:

今后是多个分式:

接下去是七个分式:

最后是:

“如若逐个逐条举办,就拿走了那么些小数的渐进连分数:

“你看来有些规律没有,除了首个正方形外,总是折叠出多少个正方形,撕掉。大家今日研商一下怎么如此。你记得A4纸的轻重缓急吗?”


“第一个考虑更要紧:老是把一张纸切割为更小的两张纸时,要保管纸张的长宽比不暴发变更。”


从这几个短边841起身,每一趟除以√2就获取下一个尺寸的短边,

“哇,真是英雄的长足!祖冲之也知道用连分数展开吗?”

“也就是说297/210类似等于√2?”学生问道。

“金星的公转周期是多久呢?我查一下。”学生说道,“罗睺的周期是686.971天,那么和地球周期相比较取得一个分数:687.971/365.2422=1.8809.”

假若老是裁剪不保险比例,那么要想图像不变形,就要多裁一些纸张,造成了浪费.

“那样,400年理应闰了24×4=96次,比97次还少1闰。那样,到了第400年,照旧再加1闰。总计一下就是:4年1闰,100年不闰,400年闰两次。”

如果纸张宽长比是√2,裁成两张后比例仍是√2,图像不会变形而且不会浪费

“可以。公历月份有时是大月30天,有时是小月29天,并没有怎么鲜明的法则,其实那背后也是数字在起效果。一个朔望月是29.5305915天,那么把小数部分用连分数展开得到,也就是说
2个月有1个大月,1五个月有8个大月,49个月里有26个大月…
那是一般景色,但也有根据农业节气做出的微调。”

“明白了。可是为啥A4的高低是297/210而不是其余啊?

“哇!又猜对了。老师您是怎么猜的?”

第四遍折出的方框形长宽是210×210,撕掉后,剩下一个87*210的长方形。
再折出多个87×87的正方形,撕掉,剩下一个87×36的长方形;
再折出五个36×36的正方形,撕掉,剩下一个36×15的长方形;
再折出八个15×15的正方形,撕掉,剩下一个15×6的长方形;
再折出多个6×6的正方形,撕掉,剩下一个3×6的长方形;
那刚好是八个3×3的正方形,直接对半撕掉后就怎么都不剩了。”

“连分数还有怎样用处?”

“那有没有可能,祖冲之正是因为有了数学基础,所以才在任何世界也有所突破呢?”

“那几个连分数数值的精度其实与回归年和朔望月的测量精度有关,对于祖冲之来说回归年的测量精度与前几天的测量值有卓殊之八日的差距,假若任凭测量的精度,那么祖冲之的方法的查获的新闰周是不行适合当下的测量结果的,也和连分数的预测极度符合。”

首先,以A4纸的短边为边长,做出一个正方形,把这些正方形撕下来。
剩余的长方形,可以折出七个正方形,也撕掉。
余下的长方形,又有什么不可折出2个正方形,都撕掉。
似乎地,又折出多个正方形,撕掉。
恍如地,又折出三个正方形,撕掉。
最后剩余的长方形,刚好是2个正方形,一分为二,一点不剩。”

“很简短,如故用连分数。我手机上有个网站,能够在线统计连分数 (
http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/cfCALC.html
)
,只要输入你给自身的小数,它就自行帮自己算出所有的渐进分数,比如最终一回你给我的0.20849934,展开后是:[0;
4, 1, 3, 1, 9, 1, 1, 1, 439, 11, 1, 1, 1, 1, 2 ]
。在那个数列里早先是一些很小的数字,突然来了一个很大的数439,这些数的尾数很小,就印证之后连分数应该转变不大,连分数的精度一下子拉长了成百上千,丰裕接近实际的数值了,那么就截取到439从前,也就是157/753.
因为我限定是100-999的数字,所以最相近的就是157/753了。”

“真神奇!那数万分相近√2的真实值。然则那也不难驾驭,随着撕掉的纸越多,剩下的纸越来越小,最后就越是趋近于一张完整纸的比重297/210了。
” 学生说道。

“哦,你要么对祖冲之一遍遍地思念。好,大家试试看。大家把回归年长度和朔望月长度的比值举办连分数展开,得到四个整数的比率,7/19是中间一个比较像样的数值,依照我们此前切磋的结果,那象征19年里有7年是1八个月,有12年是常规的12个月,12和13的交替组合出12.368…,也就是回归年和朔望月长度的比率。大家事先提过,祖冲之测量到的太阳回归年是365.2428148天,他测量到的朔望月是29.5305915天,所以双方的比率为:365.2428148
/ 29.5305915 = 12.3682864450127877.
它的小数部分用7/19来就像有早晚误差,祖冲之于是建议了更确切的闰周144/391。大家接下去验证一下祖冲之的革新有没有道理!”

“嗯,是的,我当场也有那种体会。不过就算过了这么些坎,你就会发觉她们在物理、化学、文学、甚至神经科学里大有用武之地,有了那种新的工具,在此此前很难解的题材突然探囊取物地解决了!”

“然则这一个游戏也有一对限量,就是必须交给的小数是不曾什么样规律的,固然给出的是0.3333333,那自己就没办法猜了,因为有很多数都知足这么些结果,例如100/300,150/450.
所以须求外人随便交由数值,越随意越好,越没规律越好,成功的几率越大。”

若果纸张切割成两份而不保持长宽比,打印出来的图像会变形

“祖冲之从前大面积所接纳的19年7闰,精度达到了稀有。那接下去的展开式是稍稍呢?”

“不是从未有过那种可能,至少数学和其它学科有诸多相通之处,甚至在一些方面拥有复杂的联络**。”

“那400年里到底哪几年设置为闰年呢?”

“它被称呼“连分数”。” 先生商议。

学生想了想问道:“祖冲之把19年7闰改为391年年144闰,能否够用连分数来分解啊?

内容轮廓:无论是圆周率如故在闰周的推算,祖冲之的孝敬背后都离不开严密的数学计算。固然她的推理进度已失传,但这个统计都得以用今人的见地归结到一种不难雅观的一个钱打二十四个结:连分数。通过撕一张A4纸,引出了连分数的概念,它把大家引上了一条风光旖旎的小路,一贯朝着1500多年前祖冲之进行的圆周率总括和闰周推算。

一周过后,老师和学习者在一如既往餐厅相会了,这一次他们多花了一些日子点餐,因为菜单上又添了部分新菜式。落座后,他们一面喝饮料一边等上菜。学生把吸管伸到杯子里大口吸了一口可乐说:

“因为一个人的活力是个其他,祖冲之再有能力,怎么可能把天文、数学、音乐以及机械的探究都集于一身并作出贡献呢?”

“对,要不然祖冲之也无奈按照相似三角形来推算冬至时刻了!”

《时间之问》是一部小编和学员对话调换的“记录”,选用“时间”作为跨学科商讨的媒人,联接起数学、天文、历史、集成电路、中国太古知识等分化学科,这几个话题像一颗颗散落的串珠,被“时间”那根主线串联起来。那里既可以赶上祖冲之、郭守敬、庞加莱、普赖斯等大科学家,也会意识庄子休、博尔赫兹、史铁生、柏拉图(柏拉图)等文哲大家。

“好啊!”

“那刚刚就是297/210的连分数展开。今昔大家把那么些进度重新用分数表示两回,你就了然怎么着是连分数了

“那连分数能解释祖冲之的圆周率和闰周推算吗?” 学生问道。

“对。国际标准在定义纸张大小时有七个根本的考虑,一是纸张的价钱与纸张的面积成正比。”


“对。那大家回看一下刚刚的折叠进度,这一次加上数值的一个钱打二十四个结。

“哦?是吧?比如说?” 学生急迫地问道。

《时间之问7》一张A4纸引发的隐秘数字

相关文章

No Comments, Be The First!
近期评论
    分类目录
    功能
    网站地图xml地图