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《时间之问》第6周A 祖冲之:不只是物理学家

中原烂片数学,请停止羞辱女性

找到回家的路

  • 一月 24, 2019
  • 天文
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看过那样一个故事,外孙子嫌弃卧病在床的老大姑是家里的累赘,决定把她背到深山老林里放弃。在走的路上孙子发现妈妈常常扔多少个豆子,不解地问怎么。三姨说:我怕您找不到回家的路,给你做个记号。

《时间之问》是一部作者和学生对话交换的“记录”,接纳“时间”作为跨学科商讨的媒介,联接起数学、天文、历史、集成电路、中国太古知识等不相同学科,这一个话题像一颗颗粗放的珠子,被“时间”那根主线串联起来。那里既可以赶上祖冲之、郭守敬、庞加莱、普赖斯(Price)等大物理学家,也会发现庄周、博尔赫兹、史铁生、柏拉图(Plato)等文哲我们。

有心的小姨为了外孙子顺利回家,用豆类做了一个参照物。可是在15世纪到17世纪的大航海时代,无数个丈母娘却只得默默祈福,祈祷水手外甥人身无恙,可以找到回家的路。

在广阔的大海中确定航船的职位——经纬度,对现代人来说只须求拿出北斗或GPS。不过对于大航海时代的人却是个天大的难题。


测量纬度比较便于。人们很早在此在此之前就知道,太阳和恒星的职位不仅随季节变化,也与观望者的纬度有关。航海者能够经过测量太阳的岗位求出当地纬度。在北半球时,仍能由此测量北极星在地平线上的可观来测出纬度(见图1)。

内容概况:上次说到后金《太初历》提议的“无中置闰”
法可以巧妙地规定闰月出现的月份,从而调和阴历和公历。进入二十世纪,无中置闰法的思索可以运用到新型的模仿数字转换电路(ADC)设计中。ADC电路能把连续变化的模拟信号转化为0和1结合的数字信号,可是转换进程有误差。借鉴“无中置闰”方法,也就是用整数值的很快切换到逼近小数数值的方法,可以大大减弱转换误差。那就是电路里常用的一种delta-sigma调制法。通过检测误差、累积误差,然后再判断误差的积累程度从而决定输出的数字信号,与2000多年前的无中置闰法不谋而合,殊途同归!

图1 北极星的地平仰角等于本地纬度


测量经度却是其余一次事。纬度表示地球表面南北向的岗位,经度表示地球表面东西向的职责。可是出于地球的自转,大家的东向和西向没有一颗星星是不变的,根本未曾其余天赋的参照物。

接上一节… 《时间之问》 |
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立时多少个比较发达的汪洋大海强国,例如西班牙、荷兰王国、法兰西共和国,都曾经以巨大的奖金悬赏解决经度问题的点子。


1707年,一支英帝国海军舰队因迷路触礁,导致4艘舰船和2千名海军葬身海底。于是在1714年,英政党悬赏2万英镑(相当于昨日的数百万日元),征求能以半度的精度测定经度的方法。

“除此之外,那种用整数逼近小数的“无中置闰”法,还是可以化解现行电路设计里的疑难问题,能够辅助我们设计精度更高的效仿到数字转换电路。”
先生商议。

哪个人也没悟出,最后那笔奖金会被一名钟表匠约翰(John)·Harrison得到。

“哦?是吗?有如此神奇?能详细讲讲吧。我对电路设计很感兴趣。” 学生说道。

及时的大千世界设想出不少测量经度的方式,比如狗吠法、磁偏法、信号炮船法、月距法等。在那个点子中,有的荒唐可笑,有的可操作性极低。绝对实惠的月距法精度不足还要依靠天气条件,最可靠的照旧钟表法。

“好的,你精通我们周围的世界看起来是连接变化的,换句话说它们都是模拟的,例如一天温度的变型可以画成一条曲线,所以温度传感器检测到那种连接的变化,转换成三番五次变化的电压曲线。这类电路还有很多,像单反里面的图像传感器把光芒的变动转换成光电流、迈克(Mike)风把声音的更动转换成电流,等等。这一个信号的数值都有一个特征,就是深浅可以是任意值,比如某个节点的电压是1.32伏特,而不是整数。那一个电路叫做模拟电路,因为它们的数值是足以连接变化,是足以介于整数之间的别的一个数值。这个新闻要送入到电脑里处理。”

地球每24钟头旋转360度,所以每小时旋转15度,每4分钟旋转1度。要是大家在一艘航船上,用一只甲板上的日晷测量当地时间,同时用一只表记录0度经线处的岁月。假如七个日子距离4分钟,则大家的经度与0度经线相差1度,假诺距离8刻钟,就差120度。通过经纬度对照海图,就足以精确精通航船在地球上的岗位了。现在得以观望,测量经度只必要一个计时精确的表。

“不过计算机的电脑只好处理“0”和“1”二进制数吧?” 学生问到。

在即时要打造出足足精度的航海表,有很多辛苦都很难克制,比如说船的颠簸晃动、冷热干湿的熏陶等。可是在缓解了“经度问题”的长河中,约翰(John)·哈里森(哈Rhyson)表现出了典型的工艺才能。他表达了双金属片补偿温度变化,发明了带夹圈的滚球轴承幸免摩擦,这么些技术现在我们还在运用。他吃力近40年,先后造出5台航海表,其中以1759年竣事的哈氏4号最为卓越,这只表经过81天的航行,误差唯有5分钟。

“对。处理器(CPU)并无法一向处理那几个检测到的电压电流,所以先要把那几个一而再变化的数值转换成一个个的数字信号。也就是说要把模拟信号转换成数字信号,那就要用到一种叫做模拟数字转换器(Analog-Digital-Converter,
ADC)的电路。例如一个0.25V的电压可以变换为二进制的数值010。转换成数字信号之后再展开处理,那也是干什么现在的电器都叫“单反”、“数字电视”、“数字电话”等,是因为它们都是先把信号转换成数字信号后再展开计算和拍卖。”

图2 哈氏1号

宪章数字转换器(Analog-Digital-Converter,
ADC)把连续的数值变化曲线转换为离散的一个一个单独的数值。不过那种转移并不周详,总是会有一个不能消去的误差。

图3 哈氏4号

“这么说,用作信号转换的ADC电路就是必备的了?”

制作的进度是勤奋的。比如举办精确度测试的时候,哈里森(哈Rhys(Harris)on)必要长年累月地跟踪星辰运动。他用本人窗户的一条边框和邻家家烟囱柱的侧影,作为自制天文跟踪仪器上的十字准线,用于星星定位。夜复一夜,当给定的几颗恒星跑出她们的视野范围并消失在烟囱背后时,他们就记下时钟的钟点。因为地球的自转,恒星消失的小时每晚刚好比前一晚提早了3分56秒(那是恒星日和太阳日的分别导致)。在所有这个早晨测试中,哈里森(哈里斯(Rhys)on)制作的钟表在漫天一个月里累计误差都并未当先一秒钟。那让当时世界上生产出的装有最高质地的钟表都暗淡无光了。

“没错!只是,那种转移并不完善,总是会有一个不能消去的误差,因为二进制数值的位数总是有限的,而仿照数值的多少是无比的。例如一个3位的二进制数值表示0V到1V的电压,那么3位二进制数只有从000/001/010/
011/100/101/110/111那8种数值,那么其余一个在乎七个相邻二进制数值之间的模仿数值都不得不去找最相仿的二进制数值近似,所以必然会有误差。”

要悬赏钱的进程越是辛劳。由于某些权威人员的猜疑和嫉妒,受到欺负的哈里森(哈Rhys(Harris)on)只好一点一点讨回本该属于他的奖金,直到1773年她80岁时,在国君乔治(George)三世的同情翼护下,才算顺遂。

表I:一个从模拟到数字转换暴发误差的例子,例如0.9V电压转换为数字信号后有误差

18世纪80年份未来,航海表先导成为海上导航的首要性工具。哈里森(哈Rhys(Harris)on)用典型的手艺人精神,为深海中的万千游子指明了趋势。

转换前电压 (伏) 对应的分数 转换后的十进制数 对应的二进制数 误差*
0.0 0/8 0 000 0
0.125 1/8 1 001 0
0.25 2/8 2 010 0
0.375 3/8 3 011 0
0.5 4/8 4 100 0
0.625 5/8 5 101 0
0.75 6/8 6 110 0
0.875 7/8 7 111 0
0.9 7/8 7 111 0.025V

注:二进制是3位,也就是从000到111总共8个数值,那8个数值对应于电压从0伏特到电源电压1伏特,例如000对应于0伏特,而001对应于1伏特的1/8,也就是0.125伏特,010对应于1伏特的2/8,也就是0.25伏特,以此类推。

“这怎么消除误差呢?” 学生问到。

“最直白的法门就是增强出口二进制的位数。3位二进制数的误差是0.5/23,而4位二进制数的误差就唯有0.5/24。不过,位数的增加意味着要有越来越多的输出管脚,更大的电路规模、更高的基金以及功耗。”

3位二进制:总共8个阶梯,台阶较大,精度较差

4位二进制:总共16个阶梯,台阶变小,精度有所改革

“所以人们还可望找到其余更划算的办法?”

“对,所以人们想,既然输出的数字数值的体系是有限的,而要表明的输入信号的数值是最好五个的,那什么样用简单去接近无限种可能啊?于是人们想到了“用整数近似小数或者用有理数近似无理数”的措施。比如无反相机的某部像素点采集到一个黑色的光点,这几个光点转换成电压值是0.5伏特,那么按照上表,对应的二进制数字是100,那么就可以圆满地把这些颜色转换为一个数字。可是,如若这些像素点采集的见识颜色再亮一些,比如对应到的电压是0.5625V,这些电压值对应的数字是0.5628×8=4.5。而尚未一个二进制数字刚好对应那一个电压,因为那一个电压对应的二进制数字介于100和101之间,也就是在于十进制的4和5以内。但若是大家用100和101八个整数的很快切换到就像4.5这么些小数,就足以很大程度上跌落误差。那就关乎到了和设置闰月同等的题材:怎么样用部分平头来就好像一个小数?”
先生解释道。

用100和101多个二进制整数的切换到如同0.5:0.5=(4×1+4×0)/8

“原来如此!看来古今道理都是相通的,我精通了。本质上,那和天文历法里的用12和13来就像12.8682是一种类型的问题!”

用12和13来近似12.3684,在19年里,有7年含有13个月,剩下的12年有12个月。

“对,所以现代电路设计碰到的问题,古人在几千年前就碰着了,固然它们的表现格局很不雷同。对于刚刚卡片机的这一个事例,因为我们找的数字比较简单,用100(4)和101(5)来就好像4.5,所以如若交替用4和5来表达就足以了!”
先生问道。

“同意。不过对于其余的电压就不像等比例地面世4和5那么粗略了啊?”

“对。不过我们照样可以借鉴古人的“无中置闰”法来在方便的位置插入差距的二进制数字。为了追忆,也为了借鉴无中置闰法,大家把二〇一二年-2020年间中气现身的年度、月份和日期记录下来,然后以年度和月份作为横轴,日期作为纵轴,画出垂直柱状图,相当于把刚刚的程度柱状图竖起来。看看有哪些规律。每一根柱子的莫大就象征中气在每个月首的日期。”

“那亟需多多数据。不过尔尔多多少整合的图标反而显得了一种规律性,有点像一个个的直角三角形。”

“对,那么些三角的边沿意味着中气日期的穿梭充实。随着时间推移,中气在每个月出现的日期不断推后,例如在二零一五年7月,小满是在初一,而到了三月,立春是在延迟到了那个月的初二…
平均每一个月尾气日期向后推移一天,到了二〇一七年四月,终于推迟到了这几个月的末梢一天廿九,也就是三角形斜边达到了最高处,下个月就从未有过中气了,于是就要设置一个闰月。这样所积累的误差的多方面被扫除,又起来下一轮累积。”

二零一二年-2020年闰月的分布:随着中气在各种月所在的日子不断变大,中气和朔望月中一之间的距离也愈发大,当差值(直线段的万丈)达到29或30天时,下个月就没有中气,必须安装为闰月,那样所累积的误差的多边被解除,又先导下一轮累积。19年7闰来如同0.3682.

“嗯,有点意思。误差浮现在哪个地方啊?” 学生说道。

假定中气和某一个月的初一臃肿时,农历的节气和公历没有误差。因为中气间隔比朔望月要长一些,所以每过一个月底气就向后延迟一点,中气日期和初一日之内的误差就增大一点,那么当中气移到农历的最后一天时,误差累积到了一个月,就必须插入一个闰月了。插入闰月后,误差急剧下挫,但恐怕还有某些尚未消除,没涉及,继续累积到下一个月尾,又起来一轮新的误差增进。所以,无中置闰的主题理想是误差的积淀,累积到一个月就插入闰月,然后误差近似归零,重新伊始累积。那样就足以调和一个朔望月29.53天和八个中气平均间距30.44天以内的争论。把30.44天乘以12就是一个太阳回归年365.2422天。说到底,就是调和朔望月和回归年,来似乎二者之间12.3682如此一个小数。每插入一个闰月,这一年就有1四个月,从而和平年的12个月轮流举行,来就如12.3682那几个小数。”

“那怎么规划一种ADC电路也能兑现类似的功效吗?”

“大家只要找到一种体制可以积累误差,然后当误差累积超越一个平头时就再也开端累积,就可以来用整数近似小数。

“具体怎么做啊?” 学生问道。

即使在误差累积阶段,误差还没有超过整数1,那么输出为0(约等于日常月),而当误差累积超越1时,输出变成1(相对于闰月)。所以可以用0和1产出的频次来如同小数了。即便两者出现的频率至极,那么看似出来的小数就是0.5;假如双方出现的频率是3:7,那么看似出来的小数就是0.3,因为0.3=(3×1+7×0)/10,也就是说,顺序输出10个数,其中3个1,7个0,那么平均下来就赢得0.3。假设两者出现的功效是7/19,那么看似出来的小数就是0.3682。”

“那如假如轻易一个小数,该怎么近乎呢?”

“对于自由一个小数n,大家须要找到八个整数P和Q,使得n近似等于P/Q,那么大家只要输出P个1,Q-P个0,那么:”

“原理我精通了,那怎么用电路落成吗?怎么用电路来布局一种电路结构来贯彻地点误差检测、误差累积以及误差判断呢?”学生问道。

“首先,误差要求不断积累,所以用一个加法器(Adder)来促成累积误差,并且把这么些加法的结果再举报回来和下三次结果三番五次累加,这么些部件又叫累加器(Accumulator)。接下来,要看清累加的误差是否超越了一个平头(比如一个朔望月月),这一个模块叫比较器(comparator)。即使跨越了,那么就输出1,否则输出0,即可不相同那三种处境。输出为1,意味着有误差累积达到了一个平头,所以必须把它去掉,以便归零后再次总计,所以要把那一个输出反馈到输入端,和输入作差相减。即使出口为0,那也申报回来,所以有一个汇报回路,把输入和出口相减,求出差值,然后继续丰硕那个差值到下两次计满为止。输入的数值是一个小数、或者表示小数的某个数。系统的启幕状态都是0。”

delta-sigma 调制器工作规律:第一步&第二步 )

“能举例说一下啊?” 学生说道。

“好,大家先举一个最不难易行的事例,须要接近的小数是0.4,写成多个数的比率就是2/5。也就是说在5个一而再的出口里有2个1和3个0就可以接近2/5了。输入数值是0.4,每一回添加0.4,假使加上后的结果出乎等于1,那么输出1,否则输出0。因为0.4<1,所以输出为0,那些数值反馈回来,那就成功了第一步。接下来,输入的数值0.4和上报回来的0相减得到误差值0.4,再送入加法器里和上一步留下的0.4相加获得0.8,因为小于1所以输出等于0,这就是第二步。”

“嗯。”

“接下去,反馈回来的0与输入0.4相减获得0.4,继续累加得到1.2,大于1,所以输出为1,那是第三步。反馈回来的1被输入的0.4减去,得到-0.6,再持续与1.2相加得到0.6小于1,所以输出0,那是第四步。

delta-sigma 调制器工作规律:第三步&第四步

下一场,反馈回来的0与输入0.4相减,得到0.4接续加盟到上次遗留的0.6里,得到1,比较后输出1,那是第五步。此时我们发现误差的累加值的变化规律为“0.4

  • 0.8 – 1.2 -0.6 -1.0”。到了第六步未来,又会重新这么的原理“0.4 – 0.8 –
    1.2 -0.6
    -1.0”。同样输出值Y也会遵从“0-0-1-0-1”的各种重复。在出口的5个数字里,有两个1、七个0。那样就可以用来叙述0.4,因为(2×1
  • 3×0)/5 = 0.4。”

delta-sigma 调制器工作规律:第五步&第六步;
第六步和第一步完全一致,重新开头循环

“这种电路叫什么名字呢?”

“它有一个很特其他名字:delta-sigma,delta和sigma都是希腊字母。因为delta平常表示二个数值的差值,而sigma平日表示七个数求和。这一个电路里,输入值和反馈值之间相减,求得差值,对应于delta;而加法器对应于sigma,所以就有了这些名字。这一个电路是二十世纪六十年代发明的,确切说是1962年的Inose等人表达的。”

“可是怎么刚好用这么对差值累加的格局就可以从5个数里面有多少个1啊?是或不是偶合吗?”

那看起来有些偶然,其实是毫无疑问的,若是非要用一句话解释就是:a乘以b等于b乘以a!

“那是常识啊,那跟delta-sigma电路有啥关联吗?” 学生问道。

“本次咱们把0.4表示为2/5就能看明白了。大家把拥有的数值都乘以5,也就是说输入的数值等于2,要求相比的数值变成了5,反馈回来的数值要么是0,要么是5。那不会对电路的做事方向暴发震慑。接下来大家看看会发出什么样:每一回伸张2,经过5次累加,那5次累积就拿走5×2=10,对啊?那么在那5次累积里有些许次累加的结果当先了5照旧5的翻番呢?2次,因为10=
2×5,那样在5次累加里(Gary)就有2次的出口达到了比较器的阈值,也就是出口为1的几率是40%!”

“能画一个图直观地看一下吧?”

“好的,这一次大家以3/8为例吧。也就是要找几个数值3和8,对3举行添加,每趟加到8就重新归零,然后从超过8的一对继续累加。依据大家面前说的8×3=3×8。就算左右两边的数值完全相等,然则画出来的图像却很不雷同。”

“为啥呢?”

8×3,意味着有8个3,大家用短木头来表示3,那么总共有8个短木头。而3×8,意味着有3段长度为8的长木头。二者并排在一起长度相等。长度为3的木材排列成一条线,第一段木头占据0-3的义务,第二段的原木占据3-6的职位,第3段木头占据6-9,当先了第三个长木头的地点8,大家在8的岗位画一条红线,意味着那里累积的误差当先了8,我们发现对3累加8次未来,到达24,总共画了3条红线,即有3次累加的出口为1,而此外5次累积的输出为0。所以最终输出的平均值等于(5×0+3×1)/8
= 3/8。
诸如此类就获取了要接近的小数3/8.
未来,每经过8次累加,总会有3次输出为1.”

8×3:8段长度为3的短木头;3×8:3段长度为8的长木头。

“不过那个图有点特殊,短木头和长木头都是从相同的地点初始时,借使它们一初阶没有对齐,还会冒出增进8次短木头,有3次输出为1的事态吗?”学生想到了更相像的情况。

“那大家把长木头和短木头错开一点探望。即使双方错开了,可是8次累加里照旧有3次输出为1.
所以那种delta-sigma机制不受初阶值大小的震慑。那也证实那种机制是一种可以稳定工作的体制。”

长木头和短木头错开一点,同样8次累加里(加里(Gary))如故有3次输出为1.

“我还有一个题目,刚才那几个那些2/5的增加看起来的逐月丰盛的意义不是很显明,误差的积淀不太像闰月闰月分外图里面的直角三角形。”学生说道。

“你要么对那多少个三角形梦寐不忘?好,那大家找一个比较驾驭的事例。比如小数是0.1875,可以象征为3/16,那么每回加3,经过16次累加,就是16×3=48,而48=3×16,所以在48里有3个数(第6、第11和第16)超出了16依然16的倍数,所以在16个出口里,有3个出口是非零的,比率刚好是3/16.
以此3/16充实的曲线看起来很明确,就很像一个三角形。同样,即便起头值不等于0,累加的数值的曲线可能稍有两样,不过16个出口里有3个非零值的结果不会转移。这也是以此电路神奇的地点所在!”

用delta-sigma电路来近似3/16,在16个出口里有四个出口当先了16照旧16的倍数

“真是巧妙,那倘诺用如此的电路去模拟闰月呢?” 学生问到。
“我们能够大体模拟一下,我们假如四个中气之间的间距离是30.44天,一个朔望月是29.53天,所以每个月累积0.91天的误差,一旦累积到29.53天,就减去一个月,继续积累,就赢得了看起来特别相近标准的三角形的误差累积图形。比实际的闰月误差累积标准多了。”

用delta-sigma电路近似闰月的爆发,若是七个中气之间的间隔是原则性的,朔望月的时光也是定点的,会收获更加相近标准直角三角形的误差累积图形

“那是因为大家并未考虑中气之间时间间隔的变型,而是一旦它们都是均匀的呢?”
“是的。尽管地球的清规戒律万分接近圆形,然而反映在闰月上的遍布如故不行不均匀。”
“同意。”

“商量了这么多,“无中置闰”和delta-sigma调制法真的有诸多相似之处。”学生问道。

“是的,大家一同总括一下。无中置闰记录在2000年前西夏的《续汉书律历志》:

置十二中以定月位,有朔而无中者为闰月,中之始曰节,与中为二十四气。

而delta-sigma电路最早出现在Inose发布于1962年的舆论里:

H. Inose, Y. Yasuda, and J. Murakami, “A Telemetering System by Code
Modulation: Δ-Σ Modulation,” IRE Transactions on Space Electronics
Telemetry, Vol. SET-8, September 1962, pp. 204-209. Reprinted in N. S.
Jayant, Waveform Quantization and Coding, IEEE Press and John Wiley,
1976, ISBN 0-471-01970-4. (an elaboration on the 1-bit form of
Cutler’s noise-shaping oversampling concept. This work coined the
description of the architecture as ‘delta-sigma modulation’).

比较 无中置闰法 Delta-sigma调制法
误差检测 检测朔望月长度与中气间隔的差值 检测输入小数与输出值(0/1)之间的差值
误差累积 把误差不断累积到中气日期里,中气日期不断推后 把误差不断送入累加器里,误差不断增加
误差判断 判断逐渐推后的中气日期是否超过了一个月 判断累积的误差是否达到了一个整数值

“最终自己还有一个别的的题目,”学生说道,“刚才这么些事例里,输入的数值都是定点的,如同拍一张相片,把静态的颜料转换成二进制数值。只要输入信号是连接变化的啊,例如视频,输入的图像一向在变,那种情景下输出会是如何体统?

“那大家举一个最简便易行的输入信号,正弦波,把它送入那几个电路里,我们看来输出是一串宽窄不停变换的方波信号,脉宽较大的地点代表正弦波的波峰,电压较大从而对应的二进制数字较大,即有很多1,而宽度较小的地点代表正弦信号相比较小的波谷,电压较小,二进制数值较小,里面有很多0。”

输入的正弦信号通过delta-sigma调制转换为二进制数字种类输出

“那怎么验证获得的那个脉冲种类就表示正弦波呢?” 学生问到。

“只需把那么些脉冲连串送入一个低通滤波器,滤除掉高频分量,就足以拿走其余一个正弦曲线,和输入的正弦信号形状一样,只是稍稍延迟而已。也就是说即便输入和输出的信号方式极度分裂,但是它们本质上是一样的,只是用一对不断切换的整数去接近一个老是变化的小数。”

“所以**那种delta-sigma ADC电路本质上是一个信号跟随器?”

“对,它的输入是连连变化的数值,而输出则是唯有整数的踊跃变化的数值**,也就是说输入和出口只是同一个数值的不比表达格局,一个是一而再的、一个是跳跃的。而以此delta-sigma
ADC电路就是让个其他输出数字尽可能准确和当下地反映最为多或者的输入数值。同样,《太初历》里的“无中置闰”也是近似的规律,地球绕太阳神转和月亮绕地球公转是一个连接的移位,它们的移位轨迹是光滑屡次三番的,它们公转周期的比率是一个精确的数值,但是人们制定的历法里一年的月份数量唯有三种可能:只可以在12和13中间跳跃,那什么用跳跃的数值来规范反映出日、月、地球的连接平滑运动,就是史前华夏人要解决的题材。”

“真是殊途同归!”

“最后,我们依旧回头看看后天涉嫌了西晋时使用的19年7闰的艺术。实际上,这一个历法在选取了几百年后也意识有肯定的误差,后来有个物理学家提议了更准确的置闰区间,使误差变得更小。除此之外,他还提议了用一组整数的比率来规范逼近圆周率的数值。”

“哦,那那位物理学家一定很聪明伶俐吧?他是哪个人吗?”

“前些天时光不早了,我们下次再聊吧。”

“好的,老师再见!”



至于作者:笔名偶遇科学,微电子学硕士,喜欢追逐事物背后的缘由和不一致学科的关联,寻求科学与人文的玉石俱焚。求学和教学的经历让她取得了谨慎的合计精神,更让他通晓了不易背后温情和人文不可或缺。周周他和学生在食堂的永恒约会,话题无所不包,一起发现科学、并享受思考的野趣。

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